Stetigkeit einer Funktion f : ℝ^2→ℝ, f(0,0):= 0, f(x,y):= x^2 y^2 / (x^4 + y^4) , falls (x,y)≠(0,0)

Question

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ich komme bei der folgenden Aufgabe leider nicht weiter. Könnte mir jemand (bitte auch mit Erklärung) zeigen, wie man solche Aufgaben angehen kann? Die Aufgabe lautet:

Gegeben sei die Funktion f : ℝ² → ℝ mit

 

a) Sind die beiden Funktionen k₁(x) = f(x, 0) und k₂(y) = f(0, y) stetig?

b) Bestimme alle Punkte, in denen f stetig bzw. nicht stetig ist.

Danke vielmals!

Comments

bei ii. komme ich nicht weiter. Kann mir jemand erklären wie ich diese Punkte berechnen soll?

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Vorschlag:

$$z(x,0)=\frac{x^2 \cdot 0}{   x^4+ 0}\quad \vert\quad  x \rightarrow 0$$
prüfe:

$$\lim_{h \rightarrow 0}  \frac{(x+h)^2 \cdot h}{   (x+h)^4+ h}$$

$$\lim_{h \rightarrow 0}  \frac{(x-h)^2 \cdot h}{   (x-h)^4+ h}$$

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Ich verstehe nicht ganz warum die 0, welche ja zuerst für das y eingesetzt wurde dann plötzlich durch ein h ersetzt wird. und zwar genau das h mit dem sich der x-Wert ändert.

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Du hast recht - ich schau mir das morgen an, wenn ich ausgeschlafen bin

Answer 1

Für alle \(x\ne0\) ist \(f(x,x)=\frac12\), also ist \(f\) im Punkt \((0|0)\) nicht stetig.

Answer 2

ii)

Kann als Unstetigkeitsstelle nicht eh nur (0, 0) infrage kommen ?

Also müssen wir prüfen ob es einen gemeinsamen Grenzwert für (x, y) --> (0, 0) gibt der immer konstant ist egal auf welchem Wege man sich dem Ursprung nähert.

Wir nähern uns daher mal auf einer Ursprungsgeraden y = m*x dem Ursprung.

f(x, m·x) = x^2·(m·x)^2/(x^4 + (m·x)^4) = m^2 / (m^4 + 1)

Da dies jetzt nicht eindeutig ist, gibt es keinen eindeutigen Grenzwert. Die Funktion ist in (0, 0) nicht stetig.

Answer 3

Teil a) ist total trivial. Kannst Du wenigstens \(k_1\) und \(k_2\) ausrechnen?

Bei Teil b) gibt es wie ueblich drei Moeglichkeiten:

(1) \(\epsilon\)-\(\delta\)-Definition der Stetigkeit,

(2) Folgenkriterium für Stetigkeit,

(3) Grenzwertkriterium für Stetigkeit.

Wie ebenfalls ueblich ist (1) zu meiden, wo immer es geht, und (3) liefert zusammen mit den Grenzwertsaetzen (wie in 1D), dass rationale Funktionen ueberall da stetig sind, wo sie definiert sind. Was heisst das für das \(f\) aus der Aufgabe?