Quadrat und Einheitskreis: Welche Fläche hat das Quadrat (Kreisradius 1)?

Question

Welche Fläche hat das Quadrat (Kreisradius 1)?

Comments

Die Fläche des Quadrats ist \(=\frac{64}{25}r^2\). An der Herleitung interessiert?

Gruß Werner

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Ging ja schuperschnell. Gerne doch.

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hj2166 hat es schon verraten (s.u.). Betrachte das rechtwinklige Dreieck in seiner Skizze und wende den Pythagoras an. Löse dann die Gleichung nach der Seite des Quadrats auf.

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Wald, Bäume. Wie lang ist die kleine Kathete?

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Wenn \(a\) die Seitenlänge des Quadrats ist und \(r\) der Radius des Kreises, dann ist die kleine Kathete \(=a-r\).

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und noch zwei kleine Zusatzaufgaben:

1.) Gegeben ist der Kreis \(K\) mit Radius \(r\). Konstruiere das oben beschriebene Quadrat der Seitenlänge \(a\) mit Zirkel und Lineal.

2.) Gegeben ist das Quadrat mit der Seitenlänge \(a\). Konstruiere den passenden Kreis wie oben mit Radius \(r\).

.. beides möglichst ohne das Wissen um das Verhältnis \(\frac{a}{r}=\frac{8}{5}\) zu nutzen. Und eine Bitte an hj2166: nichts verraten! Für Dich ist das zu einfach ;-)

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Ist bei 1) der Kreismittelpunkt schon gegeben, oder muss man den erst konstruieren?

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Zusatzaufgabe 3): Rechne die Quadratfläche mit Integralrechnung aus :)

Answer 1

erst einmal ohne Garantie.

Zeichne Strecken vom Kreismittelpunkt zu den fünf Schnittpunkten. Damit müsstest Du schon einiges erreichen.

Grüße,

M.B.

Comments

Oder das kreisumschreibende Quadrat betrachten. Ich werde morgen mal was versuchen.

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Trigonometrie Pythagoras

 

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Wie es auch geht: Wenn man das kreisumschreibende Quadrat betrachtet, und der Mittelpunkt des Kreises im Ursprung des Koordinatensystems liegt, hat die linke obere Ecke des Quadrats die Koordinaten (-1, 1). Die linke obere Ecke des kleineren Quadrats hat die Koordinaten (-1+2b, 1-b). Für das von Gast hj2166 eingezeichnete Dreieck kriegt man aus dem Satz des Pythagoras b = 1/5 und somit als Seitenlänge des kleinen Quadrats 2 - 2/5 = 8/5. Daraus folgt die Fläche 64/25.

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oder: Die linke obere Ecke des kleinen Quadrats hat, da sie auf dem Kreis liegt, aufgrund der Kreisgleichung die Koordinaten (x, √1-x²), die linke untere Ecke (x, -√1-x²). Der Abstand (vertikal) ist 2√1-x². Die rechten Eckpunkte haben die x-Koordinate 1 und da bei einem Quadrat die horizontale Seite so lang ist wie die vertikale Seite, gilt 2√1-x² = 1-x woraus folgt, x (die x-Koordinate der linken Eckpunkte) = -3/5 und die horizontale Kantenlänge somit 8/5.