Integral von gebrochenrationaler Funktion f(x) = (3x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 5x - 5)/((x^2 - 1)(x-1))

Question

Hey:)

Könnt ihr mir bei diesem integral helfen?

Hab mir überlegt, dass man ja zuerst eine Polynomdivision durchführen.

Integral von gebrochenrationaler Funktion f(x) = (3x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 5x - 5)/((x^2 - 1)(x-1)) 

Answer 1

f(x) = (5 - 5·x - 6·x^2 + 3·x^3 + 3·x^4) / ((x^2 - 1)·(x - 1))

Zähler Faktorisieren

= (x - 1)·(3·x^3 + 6·x^2 - 5) / ((x^2 - 1)·(x - 1))

(x - 1) kürzen

= (3·x^3 + 6·x^2 - 5) / (x^2 - 1)

Nenner Faktoisieren

= (3·x^3 + 6·x^2 - 5) / ((x + 1)·(x - 1))

Partialbruchzerlegung

= 3·x + 6 + 2/(x - 1) + 1/(x + 1)

Stammfunktion bilden

F(x) = 1.5·x^2 + 6·x + 2·LN(x - 1) + LN(x + 1) [+ C]

Answer 2

Der Zähler lässt sich faktorisieren, (x-1) kürzt sich weg.

Dann Partialbruchzerlegung machen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=factorise+5-5x-6x%5E2%2B3x%5E3%2B3x%5E4

Answer 3

Du kannst erst mal (x-1) kürzen, das gibt

(3x³ +6x²-5) / ( x² -1 )

dann Poly.div

= 3x+6 + (3x+1)/(x²-1)

Der erste Summand ist leicht zu integrieren und dann

∫  (3x+1)/(x²-1)  dx

= ∫  (3x)/(x²-1)  dx +  ∫  1/(x²-1)  dx

= 3/2 * ln(x²-1)   +   ∫  (1/2/(x-1)  dx   -    ∫  (1/2)/(x+1)  dx

= 3/2 * ln(x²-1)   +    (1/2)*ln(x-1)  dx   -      (1/2)*ln(x+1)  dx