Interpolation und Approximation von f(x) = 1 / (1+x^2)

Question

Gegeben ist die Funktion f(x) = 1 / (1+x^2)

a )Berechnen Sie für die Stützstellen     x0 = 0  , x1= 0,5 ,  x2= 1   ,   x3= 2   ,    x4= 3

das beste Ausgleichspolynom 3. Grades.

b) Berechnen Sie für dieselben Stützstellen wie in  a) den verallgemeinerten natürlichen  kubischen Spline , also mit den Bedingungen S '' (0)=f ''(0) und S '' (3) = f '' (3) .

c) Intergrieren Sie die Funktion auf dem Intervall (0,3)  exakt und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit den Integralen , die ich ergeben , wenn man die Funktion f(x) durch die  (a) und (b) berechneten Interpolation bzw. Approximationspolynome annähert.

Answer 1

Du hast keine Klammern verwendet, ich vermute du meinst

f(x) = 1 / (1 + x ^ 2)

Es existieren Webseiten, die das können.

a.)

0 | 1

0.5 | 0.8

1 | 0.5

2 | 0.2

3 | 0.1

Webseite :

http://www.xuru.org/rt/pr.asp

Ergebnis :

f(x) = 0.02105263158 * x ^ 3+ 0.003007518797 * x ^ 2 - 0.5015037594 * x+ 1.011278195

b.)

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm

Diese Webseite funktioniert, aber nur mit einem Webbrowser, der Java erlaubt ohne zu meckern.

f(x) = 1 / (1 + x ^ 2)

f´(x) = - (2 * x) / ((1 + x ^ 2) ^ 2)

f´´(x) = (6 * x ^ 2 - 2) / ((1 + x ^ 2) ^ 3)

f´´(0) = - 2

f´´(3) = 0.052

Ergebnis :

x aus [0; 1/2]

S0(x) = 2043/3500·x^3 - x^2 - 643/14000·x + 1
          = 2043/3500·x^3 - x^2 - 643/14000·x + 1

x aus [1/2; 1]

S1(x) = 197/700·(x-1/2)^3 - 871/7000·(x-1/2)^2 - 4257/7000·(x-1/2) + 4/5
          = 197/700·x^3 - 1913/3500·x^2 - 3817/14000·x + 14529/14000

x aus [1; 2]

S2(x) = -1067/14000·(x-1)^3 + 521/1750·(x-1)^2 - 1043/2000·(x-1) + 1/2
          = -1067/14000·x^3 + 7369/14000·x^2 - 9419/7000·x + 1221/875

x aus [2; 3]

S3(x) = -201/14000·(x-2)^3 + 967/14000·(x-2)^2 - 1083/7000·(x-2) + 1/5
          = -201/14000·x^3 + 2173/14000·x^2 - 4223/7000·x + 788/875

c.)

Das integrieren kannst du locker und easy selber machen, dafür brauchst du mich nicht.

Anmerkung :

Wenn du die Mathematik dahinter kennen lernen willst, dann kommst du um Bücher zum Thema "Numerische Mathematik" nicht drum herum.

Comments

Ich habe es jetzt aus Spaß doch mal integriert.

Ergebnisse :

Originalfunktion --> 1.2490

Funktion aus Aufgabe a.) --> 1.23045

Spline --> 1.246418

Der Spline ist hier also besser, bedeutet aber auch mehr Aufwand.

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wie lautet den die Formel/Funktion für a)

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vielleicht

f(x)=(1 / (1 + x ^ 2))^3 + (1 / (1 + x ^ 2))^2 +(1 / (1 + x ^ 2)) + d

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Steht doch oben !

f(x) = 0.02105263158 * x ^ 3 + 0.003007518797 * x ^ 2 - 0.5015037594 * x + 1.011278195

Das ist das Ausgleichspolynom 3-ten Grades.