Die Aufgabe hat noch einen zweiten Teil:
Ich habe versucht das selbst zu lösen und habe folgendes gemacht:
Aus der vorherigen Aufgabe wissen wir, dass die Ableitung von f(x) folgende ist:
$$ f'(x) = \frac{1}{x²+bx+c} $$
Erst habe ich die Kettenregel auf den ln-Teil angewendet:
$$ ln(x²+bx+c) $$
$$ g_1(x)=ln(x) $$ $$ g_1'(x)=\frac{1}{x} $$
$$ h_1(x)=x²+bx+c $$ $$ h_1'(x)=2x+b $$
$$ \frac{1}{x²+bx+c}*2x+b = \frac{2x+b}{x²+bx+c}$$
Wegen der Faktorregel bleiben die Konstanten Terme erhalten. Ich habe alles in die Formel eingesetzt und habe:
$$ g'(x)=\frac{\beta}{2} * \frac{2x+b}{x²+bx+c}+(\gamma - \frac{\beta b}{2})*\frac{1}{x²+bx+c}$$
Und habe weiter gerechnet bis ich $$ g'(x)=\frac{\beta x +\gamma}{x²+bx+c} $$ rausbekomme:
$$ g'(x)=\frac{\beta *(2x+b)}{2x²+2bx+2c}+\frac{\gamma - \frac{\beta b}{2}}{x²+bx+c} $$
$$ =\frac{\beta *(2x+b)}{2x²+2bx+2c}+\frac{2(\gamma - \frac{\beta b}{2})}{2x²+2bx+2c} $$
$$ =\frac{\beta *(2x+b)+2(\gamma-\frac{\beta b}{2})}{2x²+2bx+2c} $$
$$ =\frac{2\beta x+\beta b+2\gamma-2\beta-\frac{2b}{2}}{2x²+2bx+2c} $$
$$ =\frac{\beta x+\frac{\beta b}{2}+\gamma-\beta-\frac{b}{2}}{x²+bx+c} $$
$$ =\frac{\beta x+\beta*\frac{\beta}{2}+\gamma-\beta-\frac{b}{2}}{x²+bx+c} $$
$$ =\frac{\beta x +\gamma}{x²+bx+c}=g'(x) $$
Ist das mathematisch korrekt? Vielen Dank für euer Feedback.