Ableitung einer Funktion mit arctan und Wurzeln. Wie fange ich an?

Question

unten seht ihr die Aufgabe. Ich muss die Funktion f(x) ableiten um auf die Ableitung zu kommen und beweisen, ob das tatsächlich die Ableitung ist.

Mein Problem ist aber, wie fange ich an? Ich weiß, dass man die Kettenregel, Faktorregel, Wurzelableitung, usw. anwenden muss. Bloß mit welchem Schritt sollte man an fangen? Gibt es dafür eine Regel, also für die Reihenfolge?

Bitte gebt mir Tipps. Ich möchte versuchen die Aufgabe selbst zu lösen und hier zu posten.

Danke.

Comments

Der Anfang ist, sich Überblick zu verschaffen und zu analysieren, welche Formen überhaupt vorliegen.

Das Ding sieht hier nur fürchterlich kompliziert aus, tatsächlich ist das Gewirr hauptsächlich den unhandlichen Konstanten geschuldet.

Schreibe mal für den Wurzelwirrwarr ersatzweise ein  "w" in die Funktionsgleichung, und Du wirst die Sonne aufgehen sehen ...

Answer 1

Wir haben folgendes: $$f'(x)=\left(\frac{2}{\sqrt{4c-b^2}}\arctan\left(\frac{2x+b}{\sqrt{4c-b^2}}\right)\right)'$$

Von der Faktorregel bekommen wir: $$f'(x)=\frac{2}{\sqrt{4c-b^2}}\cdot \left(\arctan\left(\frac{2x+b}{\sqrt{4c-b^2}}\right)\right)'$$ Die Funktion $$\arctan\left(\frac{2x+b}{\sqrt{4c-b^2}}\right)$$ ist eine Verkettung der äußeren Funktion $$g(x)=\arctan (x)$$ und der inneren Funktion $$h(x)=\frac{2x+b}{\sqrt{4c-b^2}}$$ Um die Kettenregel anzuwenden brauchen wir die Ableitungen der Funktion g(x) und h(x). Die Ableitungen sind die folgende: $$g'(x)=\frac{1}{x^2+1} \\ h'(x)=\left(\frac{2x+b}{\sqrt{4c-b^2}}\right)'=\left(\frac{2x}{\sqrt{4c-b^2}}+\frac{b}{\sqrt{4c-b^2}}\right)' \\ =\left(\frac{2x}{\sqrt{4c-b^2}}\right)'+\left(\frac{b}{\sqrt{4c-b^2}}\right)'=\frac{2}{\sqrt{4c-b^2}}\cdot \left(x\right)'+0 \\ =\frac{2}{\sqrt{4c-b^2}}$$ Laut der Kettenregel bekommen wir $$ \left(\arctan\left(\frac{2x+b}{\sqrt{4c-b^2}}\right)\right)'=g'(h(x))\cdot h'(x) \\ =\frac{1}{\left(\frac{2x+b}{\sqrt{4c-b^2}}\right)^2+1} \cdot \frac{2}{\sqrt{4c-b^2}}=\frac{1}{\frac{(2x+b)^2}{4c-b^2}+1} \cdot \frac{2}{\sqrt{4c-b^2}} \\ =\frac{1}{\frac{(2x+b)^2+4c-b^2}{4c-b^2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{4c-b^2}}=\frac{4c-b^2}{(2x+b)^2+4c-b^2} \cdot \frac{2}{\sqrt{4c-b^2}} \\ =\frac{\sqrt{4c-b^2}^2}{4x^2+4xb+b^2+4c-b^2} \cdot \frac{2}{\sqrt{4c-b^2}}=\frac{2\sqrt{4c-b^2}}{4x^2+4xb+4c} \\ =\frac{\sqrt{4c-b^2}}{2x^2+2xb+2c}$$ Wir bekommen also folgendes: $$f'(x)=\frac{2}{\sqrt{4c-b^2}}\cdot \frac{\sqrt{4c-b^2}}{2x^2+2xb+2c}=\frac{1}{x^2+xb+c}$$

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Ich habe noch eine Frage. Wie kommst du auf die Wurzel zum Quadrat? Und im nächsten Schritt fällt das Quadrat weg. Warum? Welchen Nutzen hatte dann das Quadrat? Siehe Bild

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Wir haben ja $$\frac{4c-b^2}{4x^2+4xb+b^2+4c-b^2}\cdot \frac{2}{\sqrt{4c-b^2}}=\frac{4c-b^2}{4x^2+4xb+4c}\cdot \frac{2}{\sqrt{4c-b^2}}=\frac{2\cdot \left(4c-b^2\right)}{\left(4x^2+4xb+4c\right)\cdot \sqrt{4c-b^2}}$$ Wir können diesen Ausdruck noch vereinfachen. Es gilt dass wenn x größer oder gleich Null ist dann $$x=\sqrt{x}^2$$ Wir wissen dass 4c-b² größer also Null ist weil es unter der Wurzel und es ist nicht Null weil es im Nenner ist.

Wir haben also im Zähler das 4c-b² und im Nenner das √(4c-b²) und es gilt dass $$4c-b^2=\sqrt{4c-b^2}^2$$ Also machen wir dann folgendes: $$\frac{2\cdot \left(4c-b^2\right)}{\left(4x^2+4xb+4c\right)\cdot \sqrt{4c-b^2}}=\frac{2\cdot  \sqrt{4c-b^2}^2}{\left(4x^2+4xb+4c\right)\cdot \sqrt{4c-b^2}}=\frac{2\cdot \sqrt{4c-b^2}}{\left(4x^2+4xb+4c\right)}$$ So ist der Ausdruck vereinfacht, im Nenner ist die Wurzel √(4c-b²) weggefallen.

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Ahh, jetzt habe ich es verstanden. Danke dir.

Das ist die erste Matheaufgabe und die soll erst einfach sein. Ich will nicht wissen was noch alles kommt :(

Naja, ich muss da durch.

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Die Aufgabe hat noch einen zweiten Teil:

Ich habe versucht das selbst zu lösen und habe folgendes gemacht:

Aus der vorherigen Aufgabe wissen wir, dass die Ableitung von f(x) folgende ist:

$$ f'(x) = \frac{1}{x²+bx+c} $$

Erst habe ich die Kettenregel auf den ln-Teil angewendet:

$$ ln(x²+bx+c) $$

$$ g_1(x)=ln(x) $$ $$             g_1'(x)=\frac{1}{x} $$

$$ h_1(x)=x²+bx+c $$ $$ h_1'(x)=2x+b $$

$$ \frac{1}{x²+bx+c}*2x+b = \frac{2x+b}{x²+bx+c}$$

Wegen der Faktorregel bleiben die Konstanten Terme erhalten. Ich habe alles in die Formel eingesetzt und habe:

$$ g'(x)=\frac{\beta}{2} * \frac{2x+b}{x²+bx+c}+(\gamma - \frac{\beta b}{2})*\frac{1}{x²+bx+c}$$

Und habe weiter gerechnet bis ich $$ g'(x)=\frac{\beta x +\gamma}{x²+bx+c} $$ rausbekomme:

$$ g'(x)=\frac{\beta *(2x+b)}{2x²+2bx+2c}+\frac{\gamma - \frac{\beta b}{2}}{x²+bx+c} $$

$$ =\frac{\beta *(2x+b)}{2x²+2bx+2c}+\frac{2(\gamma - \frac{\beta b}{2})}{2x²+2bx+2c} $$

$$ =\frac{\beta *(2x+b)+2(\gamma-\frac{\beta b}{2})}{2x²+2bx+2c} $$

$$ =\frac{2\beta x+\beta b+2\gamma-2\beta-\frac{2b}{2}}{2x²+2bx+2c} $$

$$ =\frac{\beta x+\frac{\beta b}{2}+\gamma-\beta-\frac{b}{2}}{x²+bx+c} $$

$$ =\frac{\beta x+\beta*\frac{\beta}{2}+\gamma-\beta-\frac{b}{2}}{x²+bx+c} $$

$$ =\frac{\beta x +\gamma}{x²+bx+c}=g'(x) $$

Ist das mathematisch korrekt? Vielen Dank für euer Feedback.

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Es ist alles richtig bis auf die vier letzten Zeilen. An der Stelle wo du die 2 mit der Klammer (γ-βb/2) multiplizierst, hast dann plötzlich zwischen β und b eine Subtraktion, statt Multiplikation.

Wir haben folgendes $$\frac{\beta \cdot (2x+b)+2\left(\gamma -\frac{\beta b}{2}\right)}{2x^2+2bx+2c} \\ =\frac{2\beta x+\beta b+2\gamma -2\frac{\beta b}{2}}{2x^2+2bx+2c} \\ =\frac{2\beta x+\beta b+2\gamma -\beta b}{2x^2+2bx+2c} \\ =\frac{2\beta x+2\gamma }{2x^2+2bx+2c} \\ =\frac{\beta x+\gamma }{x^2+bx+c}$$

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Stimmt. Danke dir vielmals. Du kannst das wirklich sehr gut ;) Respekt.

Answer 2

f(x) = 2/√(4·c - b^2)·ATAN((2·x + b)/√(4·c - b^2))

z = (2·x + b) / √(4·c - b^2)

z' = 2 / √(4·c - b^2) 

f(z) = f(x) = 2/√(4·c - b^2)·ATAN(z)

Benutze: [ATAN(z)]' = 1/(z^2 + 1)

f'(x) = f(x) = 2/√(4·c - b^2)·1/(z^2 + 1)·z'

f'(x) = f(x) = 2/√(4·c - b^2)·1/(z^2 + 1)·2 / √(4·c - b^2) 

f'(x) = 4/((z^2 + 1)·(4·c - b^2))

f'(x) = 4/(((2·x + b)^2/(4·c - b^2) + 1)·(4·c - b^2))

f'(x) = 4/(((2·x + b)^2/(4·c - b^2) + (4·c - b^2)/(4·c - b^2))·(4·c - b^2))

f'(x) = 4/(((2·x + b)^2 + (4·c - b^2))/(4·c - b^2)·(4·c - b^2))

f'(x) = 4/((2·x + b)^2 + (4·c - b^2))

f'(x) = 4/(4·x^2 + 4·b·x + b^2 + 4·c - b^2)

f'(x) = 4/(4·x^2 + 4·b·x + 4·c)

f'(x) = 1/(x^2 + b·x + c)