Komplexe Zahlen. Gleichung mit Beträgen lösen. |z+1+j| = |z-1-j|

Question

ich soll die komplexen zahlen z finden, welche die Gleichung erfüllen:

|z+1+j| = |z-1-j|

Ich habe hier zuerst substituiert: z=a+bj

dann alle a's und j's zusammengefasst.

Als Ergebnis bekomme ich 2+2j raus, was aber falsch ist.

Jetzt versteh ich nicht ganz wo mein Fehler liegt.

Danke für die Hilfe!

Answer 1

Du hast den Betrag nicht bedacht

| (a+1) + bj+j | = | (a-1) + bj-j |

<=> | (a+1) + (b+1)j | = | (a-1) + (b-1)j |

<=>  (a+1)² + (b+1)²  =  (a-1)² + (b-1)²     

<=>  a²+2a + 1 + b²+2b + 1  =    a²  - 2a + 1 + b²  - 2b + 1 

<=>     4a + 4b = 0

<=>     a+b = 0

Also alle komplexen Zahlen der Form   z = a -aj =  a* ( 1-j)

Das ist sozusagen die Mittelsenkrechte von 1+j und 1-j.

Answer 2

Betrag einer Komplexen Zahl ist doch ihre Länge. Für $z=x+iy$ ist $|z|= \sqrt{x^{2} + y^{2}}$. Damit hast du dann:

| z+1+j |= | z -1-j |

| x+jy+1+j | = | x+jy-1-j |

| x+1 + j(y+1) | = | x-1+j(y-1) |

$\sqrt{(x+1)^{2} +(y+1 )^{2}} = \sqrt{(x-1)^{2} +(y-1 )^{2}}$ | beide Seiten quadrieren und ausmultiplizieren

$x^{2} + 2x +1 + y^{2} +2y +1 = x^{2} - 2x +1 + y^{2} -2y +1$

4x+4y = 0 -> x=-y