Grenzwert mit l'Hospital nach Substitution

Question

Ich soll folgenden Grenzwert mithilfe des l'Hospital berechnen, als Hinweis ist gegeben, dass ich den l'Hospital nach einer Substitution anwenden soll. Leider stehe ich bei dieser Aufgabe auf dem Schlauch.

Comments

Hallo :-)

cosh(x) = 1/2(e^x + e^-x)

cosh(x) 1/x² = 1/2 (e^x + e^-x)/x²

Jetzt steht der Anwendung von l'Hospital nicht mehr viel im Weg, ne?

Beste Grüße
gorgar

ln(cosh(x))/x²

P.S. Oh! Sorry, habe wohl zu flüchtig geguckt. 1/x² ist wohl der  Exponent, ne?

Dann geht das so: cosh(x)^{1/x²} = e^{ln(cosh(x))/x²}. Dann kann man l'Hospital anwenden

Answer 1

Hi,
$$ \cosh(x)^{\frac{1}{x^2}} = e^{\frac{\ln(\cosh(x))}{x^2}} $$
$$ \lim_{x\to 0} \ \ln(\cosh(x)) = 0 $$ und $$ \lim_{x \to 0 } \ x^2 = 0 $$
L'Hospital zweimal anwenden ergibt für den Exponent
$$ \lim_{x \to 0} \ \frac{  \frac{1}{\cosh^2(x)} }{2} = \frac{1}{2}  $$
Also ist $$ \lim_{x\to 0 } \ \cosh(x)^{\frac{1}{x^2}} = \sqrt{e}  $$