Partielle Integration von arctanx dx

Question

ich muss das Integral  ∫arctanx dx mithilfe von partieller Integration lösen. Lösung soll xarctanx - 1/2*ln(1+x² ) + C sein.

Sowohl das xarctanx und der ln(1+x² ) sind mir klar ich verstehe aber leider nicht wie ich zu dem 1/2 vor dem ln komme

Danke schon einmal

Answer 1

Hi,
$$ \int \arctan(x)\ dx = \int 1 \cdot \arctan(x) \ dx $$
Sei \( u' = 1 \) und \( v = \arctan(x) \) dann folgt
$$ \int \arctan(x)\ dx = x \cdot \arctan(x) - \int \frac{x}{1+x^2} \ dx + C = x \cdot \arctan(x) - \frac{1}{2} \int \frac{2 x}{1+x^2} \ dx +C  $$
Das letzte Integral ist von der Form $$ \int \frac{f'(x)}{f(x)} \ dx = \ln(|f(x)|) $$ also folgt
$$ \int \arctan(x)\ dx = x \cdot \arctan(x) - \frac{1}{2} \cdot \ln \left( 1+x^2 \right) + C $$