(n+2) zur Reihe hinzufügen

Question

Hey:)

Wie krieg ich hin, dass zur

∑(n=0 bis ∞) (n+1) xⁿ =1/(1-x)² 

(n+2) hinzufüge, weil es muss auf der linken Seite 

∑(n=0 bis ∞) (n+2) (n+1) xⁿ stehen. Natürlich müsste die rechte Seite angepasst werden, aber ich weiß nicht wie...

Answer 1

Hi,

wenn du die Reihe ∑(n=0 bis ∞) (n+1) xⁿ =1/(1-x)²  ableitest, ergibt sich durch Differenzieren von 1/(1-x)² und gliedweises DIfferenzieren der Reihenglieder

∑(n=1 bis ∞) (n+1)*n x^n-1=-2/(1-x)³   (Die Summe startet jetzt bei n=1, weil die ursprüngliche Reihe ∑(n=0 bis ∞) (n+1) xⁿ  vor dem Ableiten einen konstanten Summanden enthält, nämlich für n=0 erhält man 1)

Die Indexanpassung läuft jetzt so ab: Die Reihe ∑(n=1 bis ∞) (n+1)*n x^n-1 enthält ja die Summanden  (n+1)*n x^n-1 Für n=1, also das erste Glied, hat man z. B. (2)*(1)*x⁰ . Wenn mit der Indexanpassung unser erstes Glied jetzt n=0 ist, müssen wir in (n+1)*n x^n-1alle n durch (n+1) ersetzen, also (n+2)*(n+1) xⁿ Wenn wir jetzt zur Kontrolle wieder den ersten Summanden der Reihe nach Indexanpassung ausrechnen, also n=0, ergibt sich (2)*(1)*x⁰ also genau das selbe wie vorher für n=1 vor derIndexanpassung.

Deshalb ist

∑(n=1 bis ∞) (n+1)*n x^n-1=-2/(1-x)³ =

∑(n=0 bis ∞) (n+2)*(n+1) xⁿ=-2/(1-x)³

LG

Comments

Simon, du bist ein Ehrenmann

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3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912

Answer 2

∑(n=0 bis ∞) (n+1) xⁿ =1/(1-x)²    

Beide Seiten ableiten gibt

∑(n=0 bis ∞) (n+1)*n x^n-1 =   -2/(1-x)³ 

Dann den Summationsindex anpassen.

Comments

Aber dann wäre der Summationsindex n=1 und die Reihe soll doch ab n=1 starten

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Aber dann wäre der Summationsindex n=1 und die Reihe soll doch ab n=1 (meinst du 0 ?)

 starten.

Dann tu doch einfach den 0-ten auf beiden Seiten dazu !