Bisektionsverfahren, Approximation; Nullstelle

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion $f(x)=e^{2 x}-4 e^{x}+2$. Begründen Sie warum die Funktion im Intervall $[0,2]$ eine Nullstelle besitzt und approximieren Sie diese mit einem geeigneten Verfahren mit einer Genauigkeit von $\varepsilon=\frac{1}{4}$.

Mein Ansatz:

Also mit Zwischenwertsatz argumentiert, dass es im Intervall [0,2] min. eine Nullstelle geben muss.

Dann zur Approximation das Bisektionsverfahren verwendet.

Eine Voraussetzung für dieses Verfahren ist, dass die Funktion stetig ist. Hier hab ich Probleme.

Answer 1

e^2x  - 4*e^x + 2

Ersetzen
a = e^x
e^2x = ( e^x ) hoch 2

a² - 4 * a + 2
g = a² - 4 * a + 2² -2² + 2
g = ( a -2)² -2

Nullstelle
( a -2)² -2 = 0
( a -2)² = 2
a -2 = ±√ 2
a = ±√ 2 + 2
a = 3.4142
a = 0.586

Rückersetzung
e^x = 3.412
x = ln(3.412) = 1.227

e^x = 0.586
x = ln(0.586) = -0.534

x = 1,227 liegt im Intervall 0 bis 2 und ist somit
die Lösung

Comments

vielen dank. gleichung nach x auflösen um die nullstelle zu bestimmen habe ich auch schon gemacht. wir sollen aber mit einem geeigneten verfahren approximieren. ich habe hierfür das bisektionsverfahren verwendet.aber für das verfahren muss die fkt stetig sein. ich denke dass man das bei der aufgabe auch erst mal zeigen soll. das verfahren anzuwenden ist nicht so schwer nur weiss ich nicht wie ich die stetigkeit der fkt zeigen soll

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Elementare Funktionen sind ueberall da, wo sie definiert sind, auch stetig. Das ist unabdingbares Basiswissen, welches die Frage mit einem Blick auf die Funktion erledigt.

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Unglücklichsterweise kann ich dir bei einem
Approximationsverfahren nicht weiterhelfen.