Gesamtlänge der Kurve von t=0 bis t=2Pi

Question

x(t)= (6acos(t)-4acos³(t),4asin³(t))^T

x'(t)= (-6a*sin(t)+12a*cos²(t)*sin(t), 12a*sin²(t)*cos(t))^T

|x'(t)|= ??

0 kleiner gleich t kleiner gleich 2Pi

a>0

Answer 1

$$ |x'(t)|=\sqrt { (-6asin(t)+12acos^2(t)sin(t))^2+ (12asin^2(t)cos(t))^2 }\\=\sqrt { (6asin(t)cos(2t))^2+ (6asin(t)cos(2t))^2 }\\=\sqrt { 36a^2sin^2(t)*(cos^2(2t)+sin^2(2t)) }\\=\sqrt { 36a^2sin^2(t) }=6a|sin(t)| $$

Comments

Klasse vielen dank.

Jetzt muss ich für die Länge nur noch das Integral über 6a|sin(t)| bestimmen.

Das wäre ja 6a[-cos]von 0 bis 2Pi

Jedoch ist das dann 6a*0 aber die Kurve kann doch nicht 0 lang sein?

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Beachte den Betrag, dadurch addiert man nur positive Terme auf und man erhält ein Ergebnis >0.

Zerlege für die Berechnung des Integrals das Intervall [0,2π], sodass du den Betrag  auflösen kannst:
$$ \int_{0}^{2\pi}|sin(t)|dt= \int_{0}^{\pi}|sin(t)|dt+ \int_{\pi}^{2\pi}|sin(t)|dt\\=\int_{0}^{\pi}sin(t)dt-\int_{\pi}^{2\pi}sin(t)dt\\=2-(-2)=4 $$