Partialbruchzerlegung und Nullstellenuntersuchung

Question

komme leider bei folgender Aufgabe nicht weiter. Hoffe ihr könnt mir helfen :)

Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung und untersuchen Sie das Verhalten an den Nullstellen des Nenners. Welche Art von Definitonslücke liegt vor? (Polstelle mit/ohne Vorzeichenwechsel, hebbare Definitonslücke).

$$r\left( x \right) =\frac { x-1 }{x^4-x^3-3x^2+x+2} $$

Answer 1

Der Nenner lässt sich Faktorisieren

$$x^4-x^3-3x2+x+2 = (x+1)^2(x-2)(x-1)$$

Demnach liegt bei \(x=1\) eine hebbare Definitionslücke. Es bleibt

$$r(x)=\frac{1}{(x+1)^2(x-2)}$$

Ansatz für die Partialbruchzerlegung

$$r(x)=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+ \frac{C}{x-2} $$

$$\space \Rightarrow  A(x+1)(x-2) + B(x-2) + C(x+1)^2$$

$$\space= x^2(A + C) + x(-A + B +2C) + (-2A - 2B + C) = 1$$

Damit bekommen wir die drei Gleichungen \(A+C=0\); \(-A+B+2C=0\) und \(-2A-2B+C=1\) mit den Lösungen

$$A=-\frac{1}{9}; \space B=-\frac{1}{3}; \space C=\frac{1}{9}$$

$$\Rightarrow r(x)=-\frac{1}{9(x+1)} - \frac{1}{3(x+1)^2} + \frac{1}{9(x-2)}$$

Answer 2

Hallo HH,

mit diesem Online-Rechner, der auch den Lösungsweg angibt, kannst du die Partialbruchzerlegung selbst bestimmen:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

Wenn du rechts bei "vorher kürzen" keinen Haken anklickst,  gibt er u.a. die Faktorzerlegung an:

r(x) = (x-1) / [ (x-1) * (x-2) * (x+1)² ]     #

x = 1  ist eine hebbare Definitionslücke, weil sich der Linearfaktor   x-1  im Nenner                   wegkürzen lässt

 Die folgenden Begründungen gelten i.A. nach einem eventuellen Kürzen des Bruchs:

x = 2  ist eine Polstelle mit VZW, weil der Linearfaktor  x-2  im Nenner in ungerader                   Potenz steht

x = -1   ist eine Polstelle ohne VZW, weil der Linearfaktor  x+1  im Nenner in gerader                  Potenz steht

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#

 Die Zerlegung kannst du natürlich durch Polynomdivision auch selbst erarbeiten, wenn du durch Probieren der Teiler von 2 die Nullstellen x=1 und x=2 findest und den Nenner  und dann den Restterm jeweils durch den entsprechenden Linearfaktor dividierst. Für den quadratischen Restterm bleibt dann die pq-Formel oder eine binomische Formel.

Hilfe bei der Polynomdidision ggf.

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision

(ebenfalls mit Lösungsweg)

Gruß Wolfgang