Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Linearität der Abbildung zeigen oder Gegenbeispiel finden.

Question

Addivitivität: f(v+w) = f(v)+f(w)

Homogenität: f(kv) = k*f(v)

Lineare Abbildungen sind: (a),(b),(d),(f),(g),(h)

Woran erkenne ich das ?

Bitte ausführliche Hilfe danke.

Comments

Funzt so wie hier: https://www.mathelounge.de/456762/komposition-von-linearen-abbildungen?show=457693#c457693

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Nein meinte, dass man das aus der Aufgabe vorher sieht, ob dass eine lineare Abbildung ist.

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Warum sind es lineare Abbildungen ?

a,b,d,f,g,h

und c, e nicht

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Bei (c) gilt z.B f((1,0)) = f((0,1)) = 0, aber f((1,0) + (0,1)) = f((1,1)) = 1.

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Also versteh nicht ganz die Funktiin lautet

f:R^2,(x,y)→(x^3 y)

Wie kommt man jetzt auf

Bei (c) gilt z.B f((1,0)) = f((0,1)) = 0, aber f((1,0) + (0,1)) = f((1,1)) = 1.

Answer 1

Hallo eekn72,

Du hast die Bedingungen in Deiner Frage schon aufgeschrieben:

f(v+w) = f(v)+f(w) und f(kv) = k*f(v)

Wenn diese Bedingungen für alle v,w des Definitionsbereichs und für alle k ∈ ℝ gelten, dann ist f linear.
Gelten sie für ein v,w oder k nicht,dann ist sie nicht linear.

"Woran erkenne ich das ?"
Wenn Du schon einige solcher Aufgaben gerechnet hast, kannst Du es eventuell anhand der Aufgabenstellung sofort erkennen. So könntest Du z.B. Ankreuzaufgaben beantworten. Wenn eine Variable so aussieht wie x^2, x^3 etc. ist es ein Anzeichen für eine nicht lineare Funktion. Das sollte man aber anhand obiger Bedingungen schriftlich bzw. rechnerisch nachweisen.

c)
v, w ∈ ℝ^2. k ∈ ℝ
v = (a, b) w = (c, d)

f(v + w) = f((a, b) + (c, d)) = f((a+c), (b+d)) = (a+c)^3 * (b+d) =
(a+c)^3 * b + (a+c)^3 * d.

f(v) + f(w) = f((a, b)) + f((c, d)) = a^3 * b + c^3 * d.

Hier kann man schon vermuten, dass f(v + w) = f(v) + f(w) nicht für alle v, w gelten kann.

Z.B. für a=1, b=1, c=1, d = 1 ist

(a+c)^3 * b + (a+c)^3 * d ≠ a^3 * b + c^3 * d

D.h. wegen f((1, 1) + (1, 1)) = 16 ≠ 2 = f((1, 1)) + f((1, 1)) ist f nicht linear.

Comments

Danke

Wenn man e aus der Aufgabe ablesen möchte bedeutet, dass auch dass (x+3, y+3)auch keine lineare Abbildung ist. Woran

erkenne ich das ?

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Z.B. für a=1, b=1, c=1, d = 1 ist

(a+c)3 * b + (a+c)3 * d ≠ a3 * b + c3 * d

D.h. wegen f((1, 1) + (1, 1)) = 16 ≠ 2 = f((1, 1)) + f((1, 1)) ist f nicht linear.

Diesen Schritt habe ich nicht verständlich verstanden.

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f(v + w) = f((a, b) + (c, d)) = f((a+c), (b+d)) = (a+c)³ * (b+d) =
(a+c)³ * b + (a+c)³ * d.

f(v) + f(w) = f((a, b)) + f((c, d)) = a³ * b + c³ * d.

Hast Du denn obiges verstanden?
Jetzt einfach nur a = b = c = d = 1 einsetzen und prüfen ob

(a+c)³ * b + (a+c)³ * d = a³ * b + c³ * d

gilt.

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Wenn man e aus der Aufgabe ablesen möchte bedeutet, dass auch dass (x+3, y+3)auch keine lineare Abbildung ist. Woran erkenne ich das ?

Das weiß ich nicht. Ich konnte es erst erkennen, nachdem ich die Bedingung f(v+w) = f(v)+f(w) geprüft habe.

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Könnten wir das für e auch machen damit es sicher im Rechnen ist ?

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Ja, probier doch selbst mal, die Aufgabe ist relativ leicht.

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Du kannst ja mal die Lösung hier reinschreiben damit wir kontrollieren können, ob die Funktion wirklich nicht linear ist.

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Kannst du mir bitte mit den konvergenz rafius aufgabe helfen?

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Wie ist man auf f(1,1)+f(1,1) gekommen ?

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Ich habe es so versucht. 

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Wenn es falsch ist bitte ich um die richtige Lösung hab keine Ahnung leider. Wie setze ich bei der e) (x+3,y+3) das ist ja grob nur die Formel oder wie bei der c

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Könnte man es auch so machen ?

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e)
f: R^2 -> R^2, (x,y) -> (x+3, y+3)

x=(a,b)
y=(c,d)

f(x) + f(y) = f((a,b)) + f((c,d)) = (a+3, b+3) + (c+3, d+3)
= (a+c+6, b+d+6).

f(x+y) = f((a,b)+(c,d)) = f((a+c, c+d)) = (a+c+3, c+d+3).

Wegen f(x) + f(y) ≠ f(x+y) ist f nicht linear.

"Könnte man es auch so machen ?"
Da ist wohl beim Scannen etwas schief gelaufen?

"Kannst du mir bitte mit den konvergenz rafius aufgabe helfen?"

Das schaffe ich leider nicht mehr, muss gleich los.