Zeigen Sie: Die Hintereinanderausführung * ist eine Verknüpfung auf If (V ) und (If (V ); *) ist eine Gruppe.

Question

Seien K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, σ ∈ Aut(K) und f eine σ-Bilinearform auf  V.

Sei

I_f (V ) := {α ∈ GL(V ) | α Isometrie von (V, f) auf (V, f)}:

Zeigen Sie: Die Hintereinanderausführung * ist eine Verknüpfung

auf I_f (V ) und (I_f (V ); *) ist eine Gruppe.

Answer 1

I_f (V ) := {α ∈ GL(V ) | α Isometrie von (V, f) auf (V, f)}:

Zeigen Sie: Die Hintereinanderausführung * ist eine Verknüpfung

auf I_f (V ) und (I_f (V ); *) ist eine Gruppe.

Seien a und b aus   I_f (V ) .

Dann ist auch a*b, also die Verkettung wieder aus GL(V), weil GL(V) eine

Gruppe ist. Außerdem ist  a*b eine Isometrie, denn wenn  f die

betrachtete σ-Bilinearform auf  V ist, dann gilt für alle u,v aus V

f(u,v) = f(b(u),b(v)) weil b eine Isometrie ist und

da b(u) und b(v) wieder aus V sind ( b ist ja Automorphismus) ,

gilt auch   f(b(u),b(v)) =  f(a(b(u)),a(b(v))) , weil a eine Isometrie ist, also

f(u,v)  =   f(   (a*b)(u),(a*b)(v)  ) , also   a*b eine Isometrie.

Gruppe ist es auch, und zwar Untergruppe von GL(V); denn id ist eine

Isometrie und zu jedem a ∈   I_f (V )  ist auch  a^-1 ∈   I_f (V ).