Gleichung auflösen / Stationäre Stellen

Question

Ich soll die stationären Stellen einer Funktion finden.
Ich habe jetzt partiell abgeleitet und =0 gesetzt und erhalte letztlich:
-x³-xy²+x=y³-yx²-y

Jetzt sieht man offensichtlich, dass dies gilt für (0,0) und (1,1)
Aber es gibt wohl noch einige mehr und ich weiß nicht, wie ich umformen soll, um die zu zeigen.
Wäre super wenn da jemand helfen könnte :)

Answer 1

$${ f }_{ x }(x,y)=2xe^{-(x^2+y^2)}[1-x^2+y^2]cos(e^{-(x^2+y^2)}(x^2-y^2))=0\\{ f }_{ y }(x,y)=-2ye^{-(x^2+y^2)}[1+x^2-y^2]cos(e^{-(x^2+y^2)}(x^2-y^2))=0\\\text{erste Gleichung liefert:}\\x=0\\1-x^2+y^2=0\\e^{-(x^2+y^2)}(x^2-y^2)=\pi/2+n\pi\\ \text{(die letzte Gleichung hat allerdings keine Lösung)}\\\text{die zweite Gleichung liefert zusätzlich noch:}\\y=0\\1+x^2-y^2=0\\\text{Die stationären Punkte ergeben sich also zu:}\\(x,y)=(0,0)\\(x,y)=(0,1)\\(x,y)=(0,-1)\\(x,y)=(1,0)\\(x,y)=(-1,0)$$

Comments

danke schonmal dafür. aber laut Wolfram alpha gibt es 9 Stück. Wie bestimmt man den Rest?

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Hat dir WA vielleicht noch komplexe Resultate ausgegeben?

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Also eigentlich nicht:

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Ich weiß nicht was du bei Wolfram eingegeben hast, aber für einige der obigen Punkte

verschwindet der Gradient nicht, daher sind dies auch nicht die richtigen Lösungen.

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sehr interessant. nur wieso?
https://www.wolframalpha.com/input/?i=-x3-xy2%2Bx%3Dy3-yx2-y

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Deine Gleichung ist nicht richtig. Wie bist du denn darauf gekommen?

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wenn man die beiden oberen gleichungen gleichsetzt, dann kommt das am ende raus

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Die beiden Ableitungen müssen doch nicht einfach gleich sein. Es muss auch noch bei beiden 0 herauskommen.

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ok. blöder fehler. habe vergessen das mit =0 noch hiunzuschreiben. jetzt stimmt alles :)

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noch eine Frage:

Bei Aufgabe a) sollte ich genau diese 5 stationären Stellen finden. Bei c) steht jetzt die Frage: "Gibt es noch weitere" stationäre stellen. Kann ich da jetzt nach der obigen Rechnung einfach sagen "Nein" oder muss ich hier evt nach komplexen Lösungen suchen?

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Es gibt ja noch die zusätzliche Gleichung

$$e^{-(x^2+y^2)}(x^2-y^2)=\pi/2+n\pi$$
Ist diese erfüllt, sind beiden partiellen Ableitungen 0 und es gäbe
eventuell weitere kritische Punkte.
Ich habe bereits oben hin geschrieben, dass
dies jedoch nicht der Fall ist.
Dazu brauchst du noch eine Begründung.
Tipp: überlege dir den Wertebereich
von
$$g(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}(x^2-y^2)$$

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naja, also der wertebereich ist ja nicht beschränkt. zumindest wüsste ich nicht wieso.

PS: es gibt doch Lösungen der Gleichung von oben

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die g Funktion ist beschränkt auf -1/e<=g<+1/e  ,demzufolge hat die Gleichung in meinem letzten Kommentar keine Lösung

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ok, dann macht jetzt auch die b) Sinn.

Ich soll es also vermutlich damit begründen.
Dazu 2 Fragen:
1. Wie zeige ich, dass das 3. bzw. 4 <= gilt
2. Wie binde ich das dann in meine Argumentation ein, dass es keine weiteren Stat Stellen gibt?

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???

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schon gelöst :)
Danke für die Hilfe bei der Aufgabe

Answer 2

Wie lautete die Ausgangsfunktion ?

Comments

Ist zwar eigentlich nicht relevant, aber hier:

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>  Ist zwar eigentlich nicht relevant

Ich denke, das ist sogar sehr relevant :-)

Die Frage nach der Relevanz solltest du vielleicht besser den Antwortgebern überlassen.

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Das sehe ich exakt genau so.

Wenn alle Fragesteller wüssten was relevant ist und was nicht hätten sie selber nicht so große Probleme die gestellten Aufgaben zu beantworten.