Stationäre Stellen und Extremstellen am Rand von Ellipse D = {(x, y) : x^2 + 2y^2 ≤ 1}?

Question

Gegeben ist die Funktion f(x, y) = −x^2 y^2 

auf der Ellipse D = {(x, y) : x^2 + 2y^2 ≤ 1}. 

a) Bestimmen und klassifizieren Sie zunächst die stationären Stellen von f im Inneren von D.

b)Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion f am Rand von D mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren

Answer 1

Text erkannt:

\( f(x, y)=-x^{2} \cdot y^{2} \) soll extremal werden
\( N B: x^{2}+2 y^{2} \leq 1 \rightarrow x^{2} \leq 1-2 y^{2} \rightarrow x^{2}=1-2 y^{2} \)
\( f(y)=-\left(1-2 y^{2}\right) \cdot y^{2}=2 y^{4}-y^{2} \)
\( \frac{d f(y)}{d y}=8 y^{3}-2 y \)
\( 4 y^{3}-y=0 \)
\( y \cdot\left(4 y^{2}-1\right) \)
\( y_{1}=0 \rightarrow x_{1}=1 \)
\( x_{2}=-1 \)
\( 4 y^{2}=1 \)
\( y_{2}=\frac{1}{2} \)
\( y_{3}=-\frac{1}{2} \)
\( x^{2}=1-2 \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2} \)
\( x_{3}=\frac{1}{2} \sqrt{2} \)
\( x_{4}=-\frac{1}{2} \sqrt{2} \)
mfG
Molié