Komme einfach nicht weiter: Integral x*sqrt(x^2+1) dx

Question

ich komme wieder nicht weiter mit Mathe.

Also die Aufgabe ist folgende:

Zeigen Sie:

$$ \int x \sqrt{x^2+1}  dx = \frac{(1+x^2)^{3/2}}{3}+c$$

Ich habe zuerst versucht den 2. Faktor zu integrieren mit Hilfe der Substitionsregel. Ich komme dann genau auf das Ergebnis oben. Dann habe ich aber bemerkt, dass ich das x vergessen habe. Wenn ich dann die partielle Integration anwende, kann ich das x nicht verschwinden lassen.

Wolfram Alpha rechnet so:

$$ \int x \sqrt{x^2+1}  dx $$

$$ Subst.: u=x^2+1$$

$$ du=2x dx $$

$$ = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} du $$

$$\int \sqrt{u}=\frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} +c$$

Rücksubst.: u=x²+1

$$ =\frac{1}{3} (x^2+1)^{\frac{3}{2}}+c$$

Wie kommen die auf du=2xdx? Woher das 2x?

Woher kommt die 1/2 im nächsten Schritt? Kann man das so einfach machen? Ich habe 2 Seiten gerechnet, aber nicht zum Ergebnis gekommen, siehe oben x nicht wegbekommen.

Danke für die Hilfe.

Answer 1

Leite beide Seiten der Folgenden Gleichung ab. Linke Seite nach u und rechte nach x

u = x^2 + 1

1 du = 2x dx

Du weißt das x^2 abgeleitet 2x sind oder nicht ?

Comments

∫ x·√(x^2 + 1) dx

Subst.

u = x^2 + 1

1 du = 2·x dx

dx = 1/(2·x) du

∫ x·√u 1/(2·x) du

∫ 1/2·√u du

∫ 1/2·u^{1/2} du

1/2·2/3·u^{3/2} + c

1/3·u^{3/2} + c

Resubst.

1/3·(x^2 + 1)^{3/2} + c

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Was ich immer noch nicht verstehe ist, was macht man mit dem x der vor der Wurzel steht? Das versuche ich schon seit über Stunden zu verstehen. Warum muss Mathe so kompliziert sein? Warum erklären unsere Profs das so kompliziert?

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Schau dir die beiden Zeilen an:

∫ x·√u 1/(2·x) du
∫ 1/2·√u du

Du kürzt die beiden x weg. Eines steht im Zähler und eines im Nenner.

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Bis wohin geht die Wurzel? Ist nur das u in der Wurzel? Das erkennt man nicht so ganz.

Muss man hier

∫ 1/2·√u du

das 1/2 nicht vor das Integral schreiben?

1/2 ∫ √u du

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Ja. Nur das u. Ansonsten muss hier eine Klammer hinter der Wurzel sein.

Du kannst auch den Term Kopieren und bei Wolframalpha einfügen und schauen wie er das Interpretiert.

Answer 2

-Wie kommen die auf du=2xdx?

u= x^2+1 wird einmal  abgeleitet

du/dx = 2x

- Woher das 2x?

die Ableitung von x^2 ist 2x

-Woher kommt die 1/2 im nächsten Schritt?

du/dx= 2x

dx=du/2x

das x wird gekürzt, 1/2 wird als Konstante vor das Integral geschrieben.

Hinweis: Die part. Integration ist letztes Mittel, wenn alle anderen Methoden versagen.

Comments

Ich habe die partielle Integration angewendet, weil es sich um ein Produkt handelt.

Wie erkenne ich sofort, mit welcher Regel ich anfange soll?

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Du erkennst das die Innere Ableitung bis auf einem Faktor vor der Wurzel steht. Damit bietet sich die Substitution an.