Ist das korrekt? Bestimmtes Integral -pi bis pi von f(x) = sin(x) + 1/2

Question

wollte mal fragen, ob ich folgende Aufgabe richtig verstanden und gerechnet habe:

 

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Achja stimmt, ich habe die Fläche unter der x-Achse nicht berücksichtigt. Man muss also richtig lesen. Wenn nach der Fläche gefragt wird, dann mit Beträgen arbeiten richtig? Bei Aufgaben, wie z.B. Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale, dann nicht oder?

Wo muss ich bei a) anfangen mit Betrag zu rechnen?

Answer 1

Hier hast du zwei Kontroll-Lösungen mit Skizze.

Achte darauf das, wenn es um Flächen geht. Flächen unter der x-Achse auch positiv zu rechnen sind.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral_-pi%5Epi+%7Csin(x)%2B1%2F2%7C

A = 4.511

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral_-pi%5Epi+%7C3x%5E2-3x-6%7C

A = 51.313

Comments

Irgendwie wurde mein Kommentar nicht unter diese Antwort gepostet :(

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Ich habe grad gelesen, dass man die Nullstelle bestimmen soll, um zu sehen, ob es eine Fläche unterhalb der x-Achse gibt. Kann man das denn ohne Nullstellenberechnung machen?

Z.B. f(x)= 2x
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+2x+from+-2+to+2
Bei 0 ist eine Nullstelle denn x=0 --> 2*0 = 0

Geht das einfacher?

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Kann das nicht einfacher gehen ohne Nullstellen Berechnung?

Hatte mich super gefreut als ich die Aufgabe fertig gerechnet hatte. Jetzt sehe ich, dass sie doch nicht richtig ist.

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Du brauchst leider die Nullstellenberechnung. Wolframalpha kann das auch ohne aber der kann auch mit komplizierteren Betragsfunktionen umgehen.

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Ok, dann versuche ich das mal selbst zu machen, denn in der Klausur muss ich das auch können.

Eines möchte ich aber noch wissen. Muss ich bei den folgenden Aufgaben auch die Nullstelle berechnen? Eigentlich nicht oder? Denn die Fläche ist ja nicht gesucht. Bei den bestimmten Integralen bin ich mir aber nicht ganz sicher. Denn das Ergebnis ist ja schließlich die Fläche.

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Bei den ersten Aufgaben sollst du nur das unbestimmte Integral bilden. Das ist nichts weiter wie die Stammfunktion.

Und bei den bestimmten Integralen bestimmst du die Flächenbilanz. Dabei werden Flächen unter der x-Achse negativ gewertet. Da integrierst du also über Nullstellen hinweg.

Nur wenn du aufgefordert wirst die Fläche zu berechnen die der Graph mit der x-Achse einschließt, dann brauchst du die Nullstellen.

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a) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+3x%5E3%2B√x-e%5E-x

b) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+(2x-3)%5E5

c) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+2%2F(x%2B3)

d) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+(x%2B1)%2F(x%5E2%2B6x%2B9)

e) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+sinh(x)%5E2

f) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+cos(x)%5E2

g) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+sin(x)%5E2

h) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+cos(x)*sin(x)

i) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+x*ln(x)

j) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+sin(%E2%88%9Ax)

k) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+u*v*%E2%88%9A(1-v%5E2)+dv

a) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral_0%5Epi+(x%5E2%2B3x%2B2)*sin(x)

b) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral_-2%5E2+x%2F(x%5E2%2B3)

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Hi, ich bin jetzt wieder am Lernen und habe Aufgabenteil b) berechnet und die Nullstellen habe ich auch raus.

Erste Nullstelle bei 2 und zweite bei -1. Die Fläche konnte ich korrekt ermitteln.

Bei Aufgabenteil a) sind die Nullstellen bei ca. -2,61 und -0,52. Damit kann man die Fläche ebenfalls korrekt bestimmen. Die Nullstellen konnte ich aber nicht rechnerisch bestimmen, sondern mit Hilfe Wolfram Alpha. Da in der Klausur keine Hilfsmittel außer Taschenrechner zugelassen ist, wollte ich euch fragen, ob es eine allgemeine Formel für die Sinus-Funktion gibt? Wie ermittle ich die Nullstellen von -pi bis pi?

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Du brauchst hier keine Nullstellen. Es ist das bestimmte Integral gefragt und keine Fläche. Das bestimmte Integral berechnest du einfach über den Hauptsatz der Integral und Differentialrechnung.

Nur wenn dort etwas von Flächen geschrieben steht berechnet man die Nullstellen. Achso und wenn dort Flächenbilanz steht ist auch das bestimmte Integral gemeint.

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Ach. Das bezog sich wieder auf die original Aufgabe

SIN(x) + 1/2 = 0

SIN(x) = -1/2

x1 = ARCSIN(-1/2) + k·2·pi = 2·pi·k - pi/6

(durch Wahl eines passenden k kommt man auf -0.5235987755)

x2 = pi - ARCSIN(-1/2) + k·2·pi = 2·pi·k + 7/6·pi

(durch Wahl eines passenden k kommt man auf -2.617993877)

Nach obigem Schema lässt sich jede einfache SIN-Gleichung lösen.

Probiere mal folgende Gleichung ganz allgemein zu lösen. Hefte dir das auch in deine Formelsammlung

a·SIN(b·(x - c)) + d = 0

Ich komme auf

x1 = (ASIN(- d/a) + k·2·pi)/b + c

x2 = (pi - ASIN(- d/a) + k·2·pi)/b + c

Answer 2

f ( x ) = sin ( x ) + 1/2

Nullstellen
f ( x ) = sin ( x ) + 1/2 = 0
sin ( x ) + 1/2 = 0
sin ( x ) = -1/2  | arcsin ( )
x = arcsin ( -1/2 )
x = -0.5236

An andere Nullstellen komme ich nur relativ
umständlich heran

Die Extrama einer in y-Richting verschobenen
sin - Funktion sind dieselben wie bei einer
sin - Funktion.
x = π / 2
x = - π / 2
Von x = - 0.5236 bis - π / 2 sind es
delta x = 1.044
Der nächste Nullpunkt nach links ist
x = - 0.5236 - 2 * 1.044 = - 2.088
also noch innhalb des Intervalls.
Nach rechts landet man außehalb des
Intervalls.
Nullpunkte
x =  - 2.088
x =  - 0.5236

Die Flächen sind
∫ sin ( x ) + 1/2 dx  zwischen -π und -2.088
und
∫ sin ( x ) + 1/2 dx  zwischen -2.088 und -0.5236
und
∫ sin ( x ) + 1/2 dx  zwischen -0.5236 und π

Die Ergebissse absolut setzen und
addieren.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.