Vollständige Induktion mit Fakultät. Bsp. die Ungleichung n! > 2^{n-1}

Question

Hallo kann mir einer erklären, wie die Vollständige Induktion mit Fakultäten funktioniert ?

ich habe z.b. die Aufgabe :

n! > 2^{n-1}

danke schonmal

Answer 1

Induktionsanfang: n = 1

1! ≥ 2^{1 - 1} --> stimmt

Induktionsschritt: n --> n + 1

(n + 1)! ≥ 2^{[n + 1] - 1}

n!·(n + 1) ≥ 2^n

n!·(n + 1) ≥ 2^{n - 1}·2

Es gilt: n! ≥ 2^{n - 1} und n + 1 ≥ 2

Answer 2

Induktionsanfang :

n=3:

3!=6>4=2^{3-1}

passt

Induktionsvoraussetzung:

n!>2^{n-1}

Induktionsschritt:

(n+1)!=(n+1)n!>2*n!>2*2^{n-1}=2^n