Ableitung von 6x * e^{-2/9x²}

Question

brauche bitte die ableitung von :

f(x) = 6x mal e ^-2/9x²

 

Answer 1

Die Ableitung erhältst du, wenn du zwei Regeln anwendest:

Die Produktregel:
Wenn f(x) = u(x)*v(x) gilt, dann ist:

f'(x) = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)

Die Kettenregel:

Wenn v(x) = g(h(x)) gilt, dann ist:

v'(x) = g'(h(x)) * h'(x)

In diesem Fall wählen wir:

u(x) = 6x

v(x) = e^{-2/9 x²}

g(x) = e^x

h(x) = -2/9 x²

Und insgesamt:

f(x) = u(x)*g(h(x))

Die Ableitung lautet dann:

f'(x) = u'(x)*g(h(x)) + u(x) * g'(h(x))*h'(x)

Jetzt müssen wir also alle einzelnen Ableitungen berechnen und das dann in diese Formel einsetzen:

u'(x) = 6

g'(x) = e^x

h'(x) = -4/9 x

Also:

f'(x) = 6*e^-2/9x² + 6x*(-4/9x)*e^-2/9x² 

=(6-24/9 x^2) * e^{-2/9 x²}    | EDIT (2018) 

=  (6-8/3 x^2) * e^{-2/9 x²}

= -2/3 (4x^2 - 9) *  e^{-2/9 x²}

Comments

Hast du da am Schluss nicht ein Quadrat vergessen?

=(6-24/9 x ²) * e^{-4/9 x²}

EDIT (2018): Sollte nun stimmen. Angenommen die Klammerung zu Beginn war korrekt. Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=6x+*+e%5E(+-2%2F9x²)