Arbeitsblatt. Definition der Nullfolge in der Vorlesung, Grenzwerte Rechenregeln, geometrische Reihen

Question

Ich brauche Hilfe beim Lösen dieses Arbeitsblattes.

Mir fehlt jeglicher Ansatz, mal wieder. Ich will natürlich nicht nur die Lösung wissen, aber kann mir jemand irgendwelche Tipps geben? Videos schauen verwirrt mich nur.

Comments

EDIT: Bitte eine Frage / Frage https://www.mathelounge.de/schreibregeln

und, wenn die Vorlesung und dort Definitionenen und Rechenregeln erwähnt werden, musst du sie auch in der Antwort erwähnen.

Answer 1

zu 1 hast du ja schon was von nn

zu 2 versuche die Terme umzuformen, häufig nutzt

Dividieren durch die höchste Potenz von n, die im Nenner vorkommt!

etwa bei a) so

(2n+1) / (3n+10)
=( 2 + 1/n ) / ( 3 + 10/n)

Da 1/n und  10/n Nullfolgen sind, bleibt nach den

Grenzwertsätzen als Grenzwert

( 2 + 0 ) / ( 3+0 ) =   2/3

Bei 3a versuche es mal mit der geometrischen Reihe

Du kennst sicher :   ∑ für n=0 bis ∞    über qⁿ

=  1 / ( 1-q)   ,  wenn |q| < 1

Also bei a) kannst du es zurückführen auf den Fall q= 2/3 Dann hast du

∑ für n=0 bis ∞    über (2/3)ⁿ    =  1 / ( 1-2/3)  =  1 / (1/3) = 3

jetzt noch was anpassen

2*∑ für n=0 bis ∞    über (2/3)ⁿ    = 6

2*∑ für n=0 bis ∞    über   2ⁿ  /   3ⁿ    =  6

∑ für n=0 bis ∞    über   2ⁿ⁺¹  /   3ⁿ    =  6

und weil deine Summe erst bei 2 losgeht

  2⁰⁺¹  /   3⁰    +   2¹⁺¹  /   3¹    + ∑ für n=2 bis ∞    über   2ⁿ⁺¹  /   3ⁿ    =  6

2   +   4  /   3   + ∑ für n=2 bis ∞    über   2ⁿ⁺¹  /   3ⁿ    =  6
∑ für n=2 bis ∞    über   2ⁿ⁺¹  /   3ⁿ    =  6  - 2   -  4  /   3      =  8/3

Answer 2

(1a)  Sei \(\varepsilon>0\) vorgegeben. Wähle ein \(N\in\mathbb N\) mit \(N>\frac5\varepsilon\). Dann gilt für alle \(n>N\)$$\left\vert\frac5{2-3n}\right\vert=\frac5{3n-2}\le\frac5n<\frac5N<\varepsilon.$$