Wenn f differenzierbar ist, dann ist f stetig

Question

ich bearbeite momentan folgende Aufgabe:  Ich kenne den Beweis, dass wenn f differenzierbar ist in (a,b) dann ist f stetig in (a,b), leider nur im "eindimensionalen" Also:  $$ \lim_{h\to 0}  f(a+h)-f(a)= \lim_{h\to 0} {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}\cdot h}$$$$=\lim_{h\to 0} {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}\cdot \lim_{h\to 0}h}=f'(a)\cdot0=0$$
Leider weiß ich nicht wie man das ganze im mehrdimensionalen beweist/wiederlegt. Wäre als sehr nett wenn jemand helfen könnte.

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f(x, y) = |x| + |y|

Ist diese Funktion in (0, 0) stetig?

Ist diese Funktion in (0, 0) differenzierbar?

Answer 1

Schreibe hin, was es per Definition bedeutet: \(f\) ist im Punkt \((x,y)\) differenzierbar. Wenn Du das gemacht hast, steht eine Formel für die Differenz \(f(x+h,y+k)-f(x,y)\) auf dem Blatt. In der kannst Du dann \((h,k)\to(0,0)\) gehen lassen.

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Ok.

Also f heißt im Punkt \( (x,y) \) differenzierbar wenn der Grenzwert existiert (Also die Ableitung von f in \( (x,y) \).

Wir zeigen dies mithilfe des Differenzquotienten :

$$ \lim_{(h,k)\to 0}f(x+h,y+k)-f(x,y) =\lim_{(h,k)\to 0}\frac{f(x+h,y+k)-f(x,y)}{h}\cdot h= \lim_{(h,k)\to 0}\frac{f(x+h,y+k)-f(x,y)}{h}\cdot \lim_{(h,k)\to 0}h=f'(x,y)\cdot0=0$$

Wenn f also differenzierbar ist in \( (x,y) \) dann ist f ebenso stetig in \( (x,y) \)

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Die Definition, die Du nachschlagen solltest, ist die da:

\(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) heisst im Punkt \((x,y)\) differenzierbar, wenn es eine Darstellung $$f(x+h,y+k)-f(x,y)=ah+bk+o(\lVert(h,k)\rVert)$$ mit (von \((x,y)\) abhaengigen) Zahlen \(a\) und \(b\) gibt.

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Ah ok. Das kannte ich so in dieser Form nicht.. Ist der "beweis" mithilfe des Differenzenquotient den dadurch nun falsch?

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Kennst Du nicht? Das ist aber schlecht. Es ist naemlich (von notationellen Varianten abgesehen) die einzig moegliche Definition von Differenzierbarkeit ab zwei Variablen aufwaerts. Differenzenquotienten gehen ab da naemlich nicht mehr, weil man durch Vektoren nicht dividieren kann. Und aus partieller Differenzierbarkeit folgt keine Stetigkeit, nicht mal aus der Existenz aller Richtungsableitungen.

Dein "Beweis" ist nicht richtig. Warum sollte $$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(x+h,y+k)-f(x,y)}{h}=f_x(x,y)$$ sein? Die Definition der partiellen Ableitung geht anders. Einfaches Gegenbeispiel zu der Behauptung ist \(f(x,y)=x+y\).