Aufgabe:
Die Funktionen \( f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) seien definiert durch \( f_{n}(x)=|x| x^{n} \), für alle \( n \in \mathbb{N} . \)
Ich möchte zeigen, dass \( f_{n} \) stetig differenzierbar für \( n>0 \) ist, mit \( f_{n}^{\prime}(x)=(n+1) f_{n-1}(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) ist.
Problem/Ansatz:
Damit f stetig differenzierbar ist muss ja zum einen
1.) f differenzierbar sein und
2.) f' stetig sein
Ich denke, dass ich 1.) zeigen konnte. Würde gerne wissen, ob das richtig ist:
lim x-> x0 \( \frac{f(x) - f(x0)}{x - x0} \) Da bekomme ich 0 raus als Grenzwert => Also differenzierbar. Falls das nicht stimmt, kann ich mal meinen Rechenweg schicken.
Bei 2.) ist der Ansatz ja f'(x) = f'(-x). Hier komme ich mit den Umformungen aber nicht zum Ziel... Wäre dankbar für Hilfe.
Vielen Dank! :)
