Kann ich hier logarithmieren? 2^x + 2^{-x} = 2,5

Question

Ich komme hier nicht ganz klar. Kann ich hier logarithmieren ?

Die Aufgabe ist nach x aufzulösen. Wie muss ich hier vorgehen?

2^x + 2^{-x} = 2,5

Answer 1

2^x + 2^-x = 2,5  |*2^x

2^{2x} +1= 2.5 *2^x

2^{2x} - 2.5 *2^x +1=0

Substitution: z=2^x

z^2-2,5x+1=0 ->PQ-Formel

z1=1/2

z2=2

->Resubstitution:

1/2 =2^x

2^{-1}=2^x

x= -1

2=2^x

x=1

Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösungen -1 und 1.

Answer 2

Natürlich kannst du logarithmieren. Das ergibt

        log(2^x + 2^-x) = log(2,5).

Das bringt nur nichts, weil es kein Logarithmusgesetz gibt, mit dem du die linke Seite vereinfachen kannst. Stattdessen:

        2^x + 2^-x = 2,5

       ⇔ 2^x + 1/2^x = 2,5 wegen Regeln für negative Exponenten

       ⇔ (2^x)² + 1 = 2,5 · 2^x  durch Multiplikation mit 2^x

Mit der Substitution z = 2^x hast du nun eine quadratische Gleichung.