Wertebereich der Summe von cosinus und sinus?

Question

Hallo  :)

Ich soll den Wertebereich von der Funktion y= Sin(x) + Cos(x) bestimmen, aber ich habe keine Ahnung wie ich das machen soll

Ich weiß für Sinus alleine wäre es -1≤ y ≥ 1 aber was passiert jetzt wenn der Cosinus dazu kommt?

Würde mich sehr über Hilfe freuen... :)

LG NICK

Comments

Tipp:  \(1\ge\sin2x\Longleftrightarrow2\ge\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=(\sin x+\cos x)^2\).

Answer 1

Das Maximum der Funktion ist erreicht, wenn cos(x) = sin(x).

Das ist der Fall bei x=π/4.

Und sin(π/4) =Wurzel(2)/2

Damit ist das Maximum deiner Funktion +/- Wurzel 2.

Answer 2

f ( x ) = Sin(x) + Cos(x)

Minimum oder Maximum einer Funktion :
1.Ableitung zu null setzen.
die gefundenen Werte in die Funktion einsetzen
f ´( x ) = cos ( x ) + ( - sin ( x ))
f ´( x ) = cos ( x ) - sin ( x )

Stellen mit waagerechter Tangente
cos ( x ) - sin ( x ) = 0
cos ( x ) = sin ( x )

sin (x ) / cos ( x ) = 1

( sin / cos ) = tan ( allgemein )

tan ( x ) = 1
x = arctan (1 )
x = 0.7854

f ( 0.7854 ) = sin ( 0.7854 ) + cos ( 07854 )
y = 1.4142 ( max )

min findet du sicher auch heraus.

Answer 3

Bestimme ein Minimum und ein Maximum von f(x)= sinx+cosx. Die zugehörigen Werte sind die Grenzen des Wertebereichs.

Comments

Ich weiß aber nicht wie das geht....

Ich hätte die Funktion jetzt erst mal abgeleitet.....

Also:  f'(X) = cos(x) - sin(x)

Aber wie geht es weiter?

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Welche Nullstellen hat f '(x)?  Ansatz: 0 = cos(x) - sin(x) oder cos(x) =sin(x) bzw: 1=tan(x). Lösungen x=π/4 (Hochpunkt) oder x=5π/4 (Tiefpunkt). Wertebereich ist dann [-√2; √2].