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Ich habe gerade meinen MC-Test zurückbekommen mit den Lösungen und verstehe die Aufgaben immer noch nicht.

1. Was ergibt \( \sin(\frac{4π}{3}) \) ohne GTR?

2. tg( x - ∏) Was ist x? L:tg(x) (Was soll tg Tangens sein?)

3.X sei ein Winkel (in Bogenmaß) zwischen \( \frac{π}{2} \) und ∏ sodass \( \sin^4(x) - cos^4(x) = \frac{1}{2} \). Was ergibt sin(x) + cos(x)? Lösung: \( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \)


Könnte mir jemand für jede Aufgabe eine kurze Erklärung abgeben?


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zu 1.) man zeichne den Winkel im Einheitskreis ein. 4-mal das Drittel des Halbkreises (\(=\pi\))

Bild Mathematik

Die rote Strecke ist der \(\sin\). Das ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge 1 - also:

$$\sin{\frac{4\pi}{3}}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$$


zu 2.) ich unterstelle mal, es ist gefragt, was \(\tan{(x-\pi)}\) ist. Man mache sich wieder eine Skizze im Einheitskreis

Bild Mathematik 

Der blaue Winkel sei \(x\) und der rote \(x-\pi\). Der Tangens dieser Winkel ist jeweils das Verhältnis grüne Strecke zu gelber Strecke - also in beiden Fällen gleich.

$$\tan{(x-\pi)}=\tan{(x)}$$


zu 3.) Zerlege den Term nach der dritten binomischen Formel

$$\sin^4 {(x)} - \cos^4{(x)}=\left( \sin^2 {(x)} - \cos^2{(x)} \right)\left( \sin^2 {(x)} + \cos^2{(x)} \right)$$

Der Faktor mit \(+\) ist =1 - also ist

$$\sin^4 {(x)} - \cos^4{(x)}=\sin^2 {(x)} - \cos^2{(x)} =\left( 1 - \cos^2{(x)} \right) - \cos^2{(x)}\\ \space=1- 2 \cdot \cos^2{(x)}= \frac{1}{2}$$

$$\Rightarrow \cos(x) = \pm\frac{1}{2}$$

und da \(\frac{\pi}{2} < x < \pi\) sein soll, ist \(\cos(x)<0\). Daher gilt hier \(\cos(x)=-\frac{1}{2}\). Und \(\sin(x)\) ist >0 und nach Pythagoras ist \(\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\)

$$\Rightarrow \sin(x) + \cos(x) = \frac{1}{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

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sin4(x)cos4(x)=sin2(x)cos2(x)#

Wieso kann man hier einfach die Potenzen von 4 aus 2 verändern?


sin4(x)cos4(x)=sin2(x)cos2(x)=(1cos2(x))cos2(x) =12cos2(x)=12

(1cos2(x))cos2(x)

Ich verstehe auch nicht ganz wie Sin verschwindet und eine 1- auftaucht ^^


Du musst verstehen, dass ich für Trigonometrie nicht besonders viel gerlernt hab ^^ hehe

Hab da auch nie etwas gelernt. Zum Glück aber etwas verstanden.

Das was man braucht. Einige wenige Winkel und deren SIN bzw. COS Werte

0°, 30°, 45°, 60°, 90°

Alle anderen Winkel kann man sich daraus ableiten.

Das Verständnis für den Einheitskreis.

Und das Additionstheorem

SIN(x)^2 + COS(x)^2 = 1

Mehr braucht man nicht. Ich kann z.B. immer noch sehr mühsam vom Grad ins Bogenmaß umrechnen. Auch denke ich immer noch im Gradmaß und nie im Bogenmaß.

Hallo Namur,

"Wieso kann man hier einfach die Potenzen von 4 aus 2 verändern?"

Es wird nicht einfach die Potenz von 4 auf 2 geändert! Der Ausdruck \(\sin^4(x)-\cos^4(x)\) wird in zwei Faktoren zerlegt und einer der Faktoren ist identisch zu 1; und kann daher weg gelassen werden.

Bild Mathematik

mache Dir immer eine Zeichnung, wenn was nicht klar ist. Oben siehst Du einen Einheitskreis - d.h. einen Kreis mit dem Radius 1. Die gelbe Strecke ist der Sinus des blauen Winkels und die grüne ist sein Cosinus. Und nach Pythagoras \(a^2+b^2=c^2\) muss

$$\text{grün}^2 + \text{gelb}^2=1^2=1$$

sein. Also

$$\cos^2{(x)} + \sin^2{(x)}=1$$

... und dies ist der Faktor der in obigem Produkt =1 ist und daher weg gelassen werden kann.


"sin2(x)cos2(x)=(1cos2(x))cos2(x) -  Ich verstehe auch nicht ganz wie Sin verschwindet und eine 1- auftaucht"

Der Ausdruck \(\sin^2(x)\) verschwindet nicht einfach, sondern wird durch den Ausdruck \(1 - \cos^2(x)\) ersetzt. Ich habe diesen in Klammern gesetzt (s. meine Antwort) damit dies deutlich wird. Warum darf ich das machen? ... nun dass

$$\cos^2{(x)} + \sin^2{(x)}=1$$

ist, sollte inzwischen klar sein. Und wenn man auf beiden Seiten \(\cos^2(x)\) abzieht, dann erhält man

$$\sin^2{(x)}=1-\cos^2{(x)}$$

D.h. \(\sin^2{(x)}\) und \(1-\cos^2{(x)}\) ist das gleiche und kann jederzeit gegeneinander ausgetauscht werden.

Gruß Werner

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SIN(4/3·pi) = SIN(240°) = SIN(180° + 60°) = -SIN(60°) = -√3/2

--------------------------------------------------

TAN(x - pi) = TAN(x) --> x ist eine frei wählbare reelle Zahl.

--------------------------------------------------

SIN(x)^4 - COS(x)^4 = 1/2

SIN(x)^4 - (COS(x)^2)^2 = 1/2

SIN(x)^4 - (1 - SIN(x)^2)^2 = 1/2

SIN(x)^4 - (1 - 2·SIN(x)^2 + SIN(x)^4) = 1/2

SIN(x)^4 - 1 + 2·SIN(x)^2 - SIN(x)^4 = 1/2

2·SIN(x)^2 = 3/2

SIN(x)^2 = 3/4

SIN(x) = ±√3/2

x = 120°

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Aufgabe 1)

sin((4π)/3) = sin(π +π/3) -------->Anwendung von Additionstheoremen

allg.

\sin ( x \pm y ) = \sin x \; \cos y \pm \cos x \; \sin y

--------->

sin(π +π/3) = sin(π) * cos(π/3) +cos(π) * sin(π/3)

sin(π) = 0

cos(π) = -1

sin(π/3)= √3/2

--------> (-√3)/2

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