Reihenwert berechnen Quotientenkriterium? Summe von (1/16*(k-1) - 1/16*(k+1)) von k=3 bis unendlich sagen?

Question

Kann mir jemand den reihenwert von (1/16*(k-1) - 1/16*(k+1)) von k=3 bis unendlich sagen? mit rechenweg wäre super, danke

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Tipp: Teleskop Summe

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" Ich habe mal gelesen (Achtung, bin Laie), dass man Klammern bei unendlichen Reihen nicht weglassen darf und auch nicht beliebig umordnen darf, auch wenn das bei endlichen Ausdrücken ginge. "

@willyengland: Richtig. Du solltest irgendwie feststellen, dass der Grenzwert existiert.

Zeige, dass das was rechts jeweils übrig bleibt, gegen 0 konvergiert. Stehen denn (k-1) und (k+1) neben oder unter dem Bruchstrich?

1/16 kannst du übrigens von Anfang an vor das Summenzeichen schreiben.

Answer 1

Schreibe dir mal einige Summanden hin:

(2/16 - 4/16 )+  (3/16 - 5/16) + (4/16 - 6/16) + (5/16 - 7/16) + (6/16 - 8/16) ...................

wegen + spielen die Klammern keine Rolle mund du siehst, dass sich

jeweils einer mit dem  drittnächsten aufhebt (gleiche Farbe)

2/16 - 4/16 +  3/16 - 5/16+  4/16 - 6/16 + 5/16 - 7/16 + 6/16 - 8/16...................

( sogenannte Teleskopsumme) . Es bleibt lediglich

2/16 +  3/16  = 5 /16

Das ist der Wert der Summe.

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Stimmt das denn?

Jede Klammer für sich genommen ist ja negativ. Müsste darum nicht was Negatives rauskommen?

Ich habe mal gelesen (Achtung, bin Laie), dass man Klammern bei unendlichen Reihen nicht weglassen darf und auch nicht beliebig umordnen darf, auch wenn das bei endlichen Ausdrücken ginge.

Ich erinnere mich gerade auch an ein Video, wo so etwas ähnliches auch erklärt wird:

https://www.youtube.com/watch?v=jcKRGpMiVTw

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Da hab ich nicht genau hingesehen, wäre ja auch falsch, da die von mir

notierte Summe gar nicht konvergiert.

Richtig ist es wohl so

(1/(2*16) - 1/(4*16) )+ (1/(3*16) - 1/(5*16) )+ (1/(4*16) - 1/(6*16) )+(1/(5*16) - 1/(7*16) )...................

Dann sind die Summanden alle positiv. Es bleibt

(1/(2*16) + (1/(3*16)

= 1/32 + 1/48 = 5/96     siehe Gorgar !

Answer 2

:-)
Wenn man mit der Teleskopsumme nicht auf die Lösung kommt, so wie ich :D gibt es auch noch eine andere Möglichkeit.

Erstmal die Summe in zwei Summen aufteilen.

$$\sum_{k=3}^{n} \frac{1}{16(k-1)} - \frac{1}{16(k+1)} = \frac{1}{16}\left( \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k-1} - \sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k+1}   \right) \\$$

Dann die Indizes so verschieben, dass unter dem Bruchstrich dasselbe steht und sich zwei Summen aufheben.

$$ = \frac{1}{16}\left( \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k-1} - \sum_{k=5}^{n+2}\frac{1}{k-1}   \right) = \frac{1}{16} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=5}^{n} \frac{1}{k-1} - \left( \sum_{k=5}^{n}  \frac{1}{k-1} + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}  \right)  \right) = \frac{1}{16} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}   \right) =\frac{5}{96} - \frac{1}{16} \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}  \right)$$

Dann n gegen unendlich gehen lassen.
$$\sum_{k=3}^{\infty} \frac{1}{16(k-1)} - \frac{1}{16(k+1)} = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=3}^{n} \frac{1}{16(k-1)} - \frac{1}{16(k+1)}  = lim_{n \to \infty}\frac{5}{96} - \frac{1}{16} \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}  \right) =   \frac{5}{96}$$

Beste Grüße