Homogenes Lgs lösen Wie?

Question

ich habe eine Mitschrift mit einem lgs,

aber ich habe vergessen wie man das nochmal löst...

Kann einer mir erklären wie ich auf die Lösung komme?

Comments

Hallo NumeroUno! :-)

Eine Möglichkeit ist, die Koeffizientenmatrix in die Treppennormalform zu bringen. Dann kannst Du die Lösung direkt ablesen.

Beste Grüße
gorgar

Answer 1

[5, 2, 14]
[15, 6, 42]
[-5, -3, 21]

II / 3

[5, 2, 14]
[5, 2, 14]
[-5, -3, 21]

II - I ; III + I

[5, 2, 14]
[0, 0, 0]
[0, -1, 35]

-y + 35·z = 0 --> y = 35·z

5·x + 2·(35·z) + 14·z = 0 -->x = - 84/5·z

Answer 2

eine Möglichkeit ist, die Koeffizientenmatrix per Gaußalgorithmus in die Treppennormalform zu bringen.

Beste Grüße
gorgar

Comments

wie kommst du in der letzten Zeile auf -1 ? :D

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Die Lösungsmenge ist a(84/5, -35, -1). Es gibt unendlich viele Lösungen, Du kannst a beliebig wählen. Die -1 sorgt dafür, dass immer (0,0,0) rauskommt, egal wie das a gewählt wird. :D

$$  \begin{pmatrix}5 & 2 & 14\\ 15 & 6 & 42\\ -5 & -3 & 21\end{pmatrix} \cdot a \cdot \begin{pmatrix}\frac{84}{5}\\ -35\\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 2 & 14\\ 15 & 6 & 42\\ -5 & -3 & 21\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{84a}{5}\\ -35a\\ -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5 \cdot 84a }{5}-2 \cdot 35a-14a\\ \frac{15 \cdot 84a }{5} - 6 \cdot35a -42a\\\frac{-5 \cdot 84a }{5} + 3 \cdot 35a -21a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 84a-70a-14a\\ 252a - 210a -42a\\ -84a+105a-21a \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a(84-70-14)\\ a(252- 210 -42)\\ a(-84+105-21) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot 0 \\ a \cdot 0 \\ a \cdot 0  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0  \end{pmatrix} $$

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richtig man kann ja z=1 auch setzten oder?

da würde man auch gleich null rauskriegen.

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Na, das glaube ich jetzt einfach mal nicht. :D
Da kommt dann nämlich (28, 84, 42) ≠ (0,0,0) raus.
Rechne doch nach.

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wenn ich z=1 setzte kommt auch null raus...

5*84/5*1-2*35*1-14*1 = 0

und bei den anderen 2 Gleichungen auch ...

wieso geht das dann nicht ? :)

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5*84/5*1-2*35*1-14*1 = 0

Da hast Du  z = -1 gesetzt. x, y sind von z abhängig, da kannst Du nicht einfach nur das z ändern.

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ah du hast recht.

aber wie bist du jetzt nochmal darauf gekommen das man z=-1 wählen muss damit die Gleichung erfüllt ist ?

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Muss man gar nicht, z ist hier frei wählbar. Gern führt man einen freien Parameter ein. Hier a = z:

$$\vec{\lambda} = \begin{pmatrix}-\frac{84}{5} z \\ 35 z \\ z\end{pmatrix}  = z\begin{pmatrix}-\frac{84}{5} \\ 35 \\ 1\end{pmatrix} \\z = a \\\vec{\lambda} = \begin{pmatrix}-\frac{84}{5} a \\ 35 a \\ a\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}-\frac{84}{5}\\ 35 \\ 1\end{pmatrix}$$

Damit kannst Du die z-Komponente im Lösungsvektor selbst bestimmen(x, y ändern sich dann wegen der Abhängigkeit von z auch). Wir hatten das mal so gelernt, die -1 einzusetzen, seitdem habe ich das so übernommen.

{{5, 2, 14}, {15, 6, 42}, {-5, -3, 21}}.{-84a/5, 35a, a}

Ihr habt es offensichtlich auch so gelernt(bzw. eventuell einige von euch :D), bei Dir steht ja λ₃ = -1 ;-)