Ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Wir befinden uns in V=C^4. Ich sollte zu dem Unterraum U=span{(1, i, -i, 0)^T, (i, 1, 1+i,0)^T, (0, 2i, -1,0)^T} einen passenden Unterraum W finden sodass V=U⊕W (direkte Summe). Ich habe nun gezeigt, dass der dritte Vektor abhängig ist und dann W={(0,0,1,0)^T, (0,0,0,1)^T} gewählt. In der Musterlösung steht aber W'={(1,0,0,0)^T, (0,0,0,1)^T}.
Wenn ich jetzt aber die ersten beiden Vektoren von U mit meinem W in eine Matrix mit 0 gleichsetze, dann kann ich ja so Zeilenumformung betreiben, dass alle Vektoren linear unabhängig sind. Deshalb meine Frage: Ist es egal welche Vektoren man wählt, wenn man den Austauschsatz verwendet? Oder habe ich mich vertan? Ich weiß auf jeden Fall, dass es nicht egal ist ob man (0,0,0,1)^T in W wählt, da es ja in U keine Möglichkeit gibt, den letzten Eintrag zu füllen, aber sonst weiß ich nicht weiter.
Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen! :)
