Teilweise den Grenzwert ziehen darfts du hier nicht, da der übrigbleibende Faktor n gegen unendlich strebt.
Man kann ja auch nicht
lim n-->∞ n=lim n-->∞ n^2/n =lim n-->∞ n^2 *lim n-->∞ 1/n=lim n-->∞ n^2 *0 =0
sagen, klar?
Eine Möglichkeit zur Lösung ist folgende:
n*√1+1/n=√(n^2+n)=√((n+1/2)^2-1/4)
für n gegen unendlich kann die Konstante -1/4 unter der Wurzel
vernachlässigt werden, daher √((n+1/2)^2-1/4)≈√(n+1/2)^2
=n+1/2
Da man n nochmal hinten abzieht bleibt nur noch 1/2 übrig was der gesuchte Grenzwert ist.