Grenzwert mit Wurzel

Question

Kurze Frage:

Es wird gesucht der Grenzwert

$$ \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } { n*\sqrt { 1+\frac { 1 }{ n }  } -n } $$

WolframAlpha meint der Grenzwert wäre 1/2.

Ich habe jedoch folgendes gerechnet:

$$ ...\quad =\quad lim\quad n\quad *\quad lim\quad (\sqrt { 1+1/n } -1)\\ =\quad lim\quad n\quad *\quad (lim\quad ({ (1+1/n) }^{ 1/2 })\quad -\quad 1)\\ =\quad lim\quad n\quad *\quad ((lim\quad 1\quad +\quad lim\quad 1/n)^{ lim\quad 1/2 }\quad -\quad 1)\\ =\quad lim\quad n\quad *\quad ({ 1 }^{ 1/2 }\quad -\quad 1)\\ =\quad lim\quad n\quad *\quad 0\quad =\quad 0 $$

Wo liegt hier mein Fehler, und wie kommt an auf 1/2?

Comments

Teilweise den Grenzwert ziehen darfts du hier nicht, da der übrigbleibende Faktor n gegen unendlich strebt.

Man kann ja auch nicht

lim n-->∞ n=lim n-->∞ n^2/n =lim n-->∞ n^2 *lim n-->∞ 1/n=lim n-->∞ n^2  *0 =0

sagen, klar?

Answer 1

Teilweise den Grenzwert ziehen darfts du hier nicht, da der übrigbleibende Faktor n gegen unendlich strebt.

Man kann ja auch nicht

lim n-->∞ n=lim n-->∞ n^2/n =lim n-->∞ n^2 *lim n-->∞ 1/n=lim n-->∞ n^2  *0 =0

sagen, klar?

Eine Möglichkeit zur Lösung ist folgende:

n*√1+1/n=√(n^2+n)=√((n+1/2)^2-1/4)

für n gegen unendlich kann die Konstante -1/4 unter der Wurzel

vernachlässigt werden, daher √((n+1/2)^2-1/4)≈√(n+1/2)^2

=n+1/2

Da man n nochmal hinten abzieht bleibt nur noch 1/2 übrig was der gesuchte Grenzwert ist.

Answer 2

Ich würde damit beginnen das n, dass vor der Wurzel steht, in die Wurzel zu ziehen. Du hast dann: lim (Wurzel(n ^ 2 + n) - n).

Dann musst du mal weiter schauen.

Hilft das? 

abibabo