gleichmäßige konvergenz: was bedeutet diese art von konvergenz bei funktionenreihen-/folgen?

Question

wenn ich zum Beispiel zu einer 2π-periodischen Funktion f die Fourierreihe FR(x) berechne und f stetig auf R ist, gilt ja: FR(x) konvergiert gleichmäßig gegen f.

Für Potenzreihen gibt es ja auch einen Satz, der mir das Intervall für die gleichmäßige Konvergenz liefert.

Die Definition für gleichm. Konv.  kann ich soweit auch anwenden mit Weierstraß, etc.... aber was gleichmäßige Konvergenz bedeutet, kann ich mir schwer vorstellen.

Wie interpretiere ich also zum Beispiel die Aussage. Die Fourierreihe konvergiert gleichmäßig gegen f?

Answer 1

wenn ich zum Beispiel zu einer 2π-periodischen Funktion f die Fourierreihe FR(x) berechne und f stetig auf R ist, gilt ja: FR(x) konvergiert gleichmäßig gegen f.

Bisschen mehr als stetig muss die Funktion schon sein, damit ihre Fourierreihe gleichmaessig konvergiert.

Die Definition für gleichm. Konv.  kann ich soweit auch anwenden mit Weierstraß, etc.... aber was gleichmäßige Konvergenz bedeutet, kann ich mir schwer vorstellen.

Hier ist ein Bild dazu: http://www.mathcs.org/analysis/reals/funseq/graphics/uconvdef.jpg

Du malst einen ε-Schlauch um den Graphen der Grenzfunktion f. Dann liegen für alle grossen n die Graphen der f_n komplett in diesem ε-Schlauch.

Wie interpretiere ich also zum Beispiel die Aussage. Die Fourierreihe konvergiert gleichmäßig gegen f?

Dass es reicht, eine genuegend grosse feste Anzahl von Reihengliedern mitzunehmen, um den Abbruchfehler fuer alle x unter eine vorgegebene Schranke zu druecken.

Hier ist eine Bildchen, wo das nicht der Fall ist: http://math.feld.cvut.cz/mt/txte/3/gifa3/pc3ea3fz.gif

Comments

Warum gibt es in dem Beispiel wo du zum Schluss gezeigt hast keine Schranke?

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Da geht es um die Fourierreihe fuer  einen Rechteckimpuls. Die Grenzfunktion nimmt nur die Werte 0, 1 und an den Sprungstellen 1/2 an. Die Partialsummen der Reihe sind aber alle stetig, d.h. egal wie viele Reihenglieder Du mitnimmst, es gibt immer Stellen, an denen z.B. die Funktionswerte 1/4 und 3/4 angenommen werden (Zwischenwertsatz!)). An diesen Stellen ist man aber schon für z.B. ε = 1/8 zu weit von der Grenzfunktion weg.

Du solltest einfach mal das Standardbeispiel \(f_n(x)=x^n\) auf \([0,1]\) durcharbeiten. Da sehen die Verhaeltnisse genauso aus. Findest Du in jedem Lehrbuch zusammen mit weiteren illustrierenden Beispielen, z.B. Analysis I von Walter oder Analysis I von Heuser.

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Die Partialsummen der Reihe sind aber alle stetig, d.h. egal wie viele Reihenglieder Du mitnimmst, es gibt immer Stellen, an denen z.B. die Funktionswerte 1/4 und 3/4 angenommen werden (Zwischenwertsatz!)). An diesen Stellen ist man aber schon für z.B. ε = 1/8 zu weit von der Grenzfunktion weg.

Wieso gilt bei einer 2π-periodischen, stückweise stetig-diffbaren und stetigen Funktion nicht das selbe? Da konvergiert die Fourierreihe ja gleichmäßig. Da sind die Partialsummen aber auch meistens stetig (man hat ja nur Summen von Sinus- und Kosinusfunktionen bei Fourierreihen).

Mir ist noch nicht ganz klar, warum gerade Sprungstellen von f die gleichmäßige Konvergenz nicht zulassen.

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Die Partialsummen von Fourierreihen sind immer stetig.

Stetiges erlaubt aber keine gleichmaessige Approximation von Unstetigem. Das Argument Zwischenwertsatz steht oben.

Male ein Bild dazu. Zeichne den Rechteckimpuls wie im verlinkten Bild auf. Markiere den 1/8-Schlauch aussenrum. Dann versuche mal, eine stetige Funktion einzuzeichnen, die ganz in diesem Schlauch verlaeuft.

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Kannst du mir noch bitte die Skizze darstellen?  Ich weiß nicht genau wie ich den Epsilonschlauch antragen soll bzw. was in die Skizze alles rein muss um dann auch damit "arbeiten" zu können. Dann würde ich mir das in Ruhe mal anschauen und versuchen zu verstehen.

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Beschrifte wenigstens selber (mindestens 12 Buchstaben)