Wie weist man nach, dass g(x) kleiner als h(x) ist? g(x) = (x-1) * e^{-x}

Question

Könnt ihr sagen, wie man diese Aufgabe löst (war meine Klausur vor einem Jahr)

Answer 1

betrachte

$$ h(x)-g(x)=(x+1)e^{x}-(x-1)e^{-x}=x(e^x-e^{-x})+(e^x+e^{-x})=I+II $$

man möchte nun zeigen, dass dieser Term größer als Null ist, dann folgt daraus automatisch, dass

h>g gilt. Schau dir dazu die beiden Summanden I und II an:

I:

Wenn x laut Voraussetzung >=0 ist, so ist der Faktor x positiv. Ebenso ist e^x-e^{-x} >=0, denn für x=0 ergibt sich 0.

Die Summanden e^{x} und -e^{-x} sind jedoch streng monoton wachsend, weshalb der Term also auch immer positiv bleibt. -> I >=0

Summand II ist natürlich immer positiv. II>0

--> I+II > 0

Answer 2

Hi 18697,

ich würde es so machen:

Zu zeigen: h(x) > g(x) für alle x > 0. Teilen beider Gleichungen durch e^x führt zu:

x+1 > (x-1) * e^{-2x} [was an dieser Stelle noch nicht bewiesen ist]

Nun ist es aber so, dass  0 < e^{-2x} < 1 für x > 0 und somit ist die Behauptung bewiesen, weil dann sicher h(x) > g(x) ist.

Hilft das?

abibabo

Comments

Muss man nicht (-1) in die andere Seite tun?

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Du "musst" nur die Behauptung beweisen und ich denke, dass mir das gelungen ist. Sicherlich gibt es auch andere Wege, meiner sollte aber ok so sein. Hast du das was ich geschrieben habe genau gelesen und verstanden?

Hast du eine andere Lösung der Aufgabe?

abibabo

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Hier sind die Lösungen.

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Ah ja,

die machen es nur andersrum. Lese es genau, Zeile für Zeile und vollziehe deren oder meine Lösung nach. Ich kann dir jetzt indem ich schreibe leider nicht viel weiter helfen. Du schaffst das!

abibabo

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kannste  mir erklären, inwiefern der Bruch und die e Funktion mit Potenz über beide Funktione aussagen.

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Ich verstehe nur nicht, was e^2x >= 1 und der Bruch über beide Funktionen aussagen, dass die eine Funktion kleiner ist.

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Nehme einfach mal einen Taschenrechner und setze Zahlen in diese Funktionen ein. Dann solltest du sehen und verstehen was passiert. Du kannst auch versuchen die beiden Funktionen zu zeichnen.

abibabo

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Kommt man auch ohne Zahlen einsetzen, durch umformen, dass z.B. x-1/x+1 kleiner als 1 ist? etc.

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Ja, das geht. Zu zeigen:

(x-1)/(x+1)<1

Multiplikation mit (x+1) führt zu:

x-1 < x+1

Subtraktion von x ergibt:

-1 < 1.

Diese Aussage ist wahr und somit ist (x-1)/(x+1)<1.

abibabo

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Brauchtest du für die erste Lösung (deine erste Lösung Rechenweg) auch keine Zahlen einzusetzen?

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haste nicht e^2x vergessen?