Wie Krümmung von geschlossener Strecke bei gegebenen Punkten berechnen

Question

also ich habe folgendes Problem: Gegeben ist in Matlab die Mittellinie einer geschlossenen Rennstrecke in Form einer Matrix mit erster Spalte X-Koordinaten und 2. Spalte Y-Koordinaten....

Nun soll ich für jedes Punktepaar die Krümmung berechnen um Geraden auf der Strecke zu filtern, dabei ist die Krümmung in Abhängigkeit des auf der Strecke zurückgelegten Wegs s definiert

Jetzt habe ich das Problem, dass die X und Y-Koordinaten jeweils eine Funktion in Abhängigkeit von s sein müssen und dann abgeleitet werden.. wie mache ich das? Also ich habe mittlerweile jedem Punktepaar eine Länge s zuordnen können (Approximation über Satz des Phythagoras, weil die Punkte sehr eng beieinander liegen)

Für die erste Ableitung würde ich statt dX/ds einfach z.B (X2-X1/s2-s1) nehmen, wäre das in Ordung? Aber wie soll ich denn die 2. Ableitung mit den Punkten hinbekommen? Könnte ich vielleicht doch irgendwie eine allgemeine Funktion der Koordinaten von s berechnen?

(Und wenn z.B. für den Winkel die Krümmung aufintegriert werden muss, kann ich dann einfach die Krümmung der einzelnen Punkte summieren?)

Answer 1

Du schreibst. ".. einer geschlossenen Rennstrecke .."

Wenn Du so etwas - bzw. Teile davon - als Funktion darstellen möchtest, so wirst Du an mindestens zwei Stellen eine Steigung von unendlich haben. Oder in Deinem Fall Stellen, wo die Steigung von plus-sehr-groß auf minus-sehr-groß umschlägt - oder umgekehrt. Das ist nummerisch ziemlich übel!

Schau nach wie 'Krümmung' definiert ist - nämlich κ = 1/r. Wobei r der Radius des and der Stelle anliegenden Kreises ist.

Was spricht also dagegen, drei hinter einander liegende Punkte zu wählen und ihren Umkreis bzw. seinen Radius zu berechnen (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Umkreis#Radius). Und daraus auf die Krümmung im mittleren der drei Punkte zu schließen.