Stelle eine Koordinatengleichung der Ebene durch den Punkt P (-13 | 15 | -10 ) und die Gerade g …

Question

Aufgabe:

Stelle eine Koordinatengleichung der Ebene durch den Punkt P (-13 | 15 | -10 ) und die Gerade g: x= (-2 | 20 | -5 ) + t * (0 | -2 | 9 ) auf

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass man den Verbindungsvektor zwischen P und den Aufpunkt der Gerade bestimmt und dann eine Parametergleichung bildet. Ich weiß auch, wie man dann auf die Koordinatenform kommt.

Meine Frage wäre, ob es auch möglich wäre, wenn ich zum Richtungsvektor einen orthogonalen Vektor bestimme und den dann als meinen Normalenvektor für die Ebene nehme. Dafür muss das Skalarprodukt 0 ergeben. Damit der Punkt P in der Eben liegt, kann ich den in diesen Ansatz mit ax1 + bx2 + cx3 = d einsetzten und so einen Wert für d erhalten.

So würde es meiner Meinung nach viel schneller gehen und ich müsste zum Beispiel keinen Vektorprodunkt berechnen

Answer 1

Warum probierst du deinen Ansatz nicht aus? Ganz falsch ist er nicht, allerdings: es gibt unendlich viele Vektoren, die orthogonal zur Geraden sind. Wie willst du also sicherstellen, welcher davon dein gesuchter Normalenvektor ist? Du musst also auch gewährleisten, dass der Vektor zwischen Gerade und dem Punkt \(P\) orthogonal zum Normalenvektor ist und dann bist du doch wieder beim Vektorprodukt, welches übrigens nicht aufwendig zu berechnen ist. Du kannst allerdings den Part mit der Parametergleichung überspringen, da du für den Normalenvektor ja nur die beiden Richtungsvektoren brauchst. Dann einen Normalenvektor mit dem Vektorprodukt berechnen und \(d\) wie von dir beschrieben.

Answer 2

Meine Frage wäre, ob es auch möglich wäre, wenn ich zum Richtungsvektor einen orthogonalen Vektor bestimme.

Das geht nicht. Eine Ebene braucht unbedingt zwei Richtungsvektoren (Spannvektoren) und nicht nur einen. Und der Normalenvektor muss senkrecht zu beiden Richtungsvektoren sein und nicht nur zu einem.

Es gibt zu einem Richtungsvektor übrigens unendlich viele Richtungsvektoren, die dazu senkrecht sind und die Unterscheiden sich nicht nur in der Länge und der Orientierung, sondern eben auch in der Richtung.

Comments

Zweiter Spannvektor

[-13, 15, -10] - [-2, 20, -5] = [-11, -5, -5]

Normalenvektor

[0, -2, 9] ⨯ [-11, -5, -5] = [55, -99, -22] = 11·[5, -9, -2]

Ebenengleichung in Koordinatenform

E: X·[5, -9, -2] = [-2, 20, -5]·[5, -9, -2]
E: 5·x - 9·y - 2·z = -180