Wie sieht die Stammfunktion von f(x) = e^√x / √x aus?

Question

Mit partieller Integration und Substitution von e^√x kam ich hier jedenfalls nicht weiter...

Die Funktion sieht so aus:

$$ f\left( x \right) =\quad \frac { { { e } }^{ \sqrt { x }  } }{ \sqrt { x }  } $$

für Vorschläge!

Answer 1

Hi,

substituiere \(\sqrt{x} = u\) und damit \(du = \frac{1}{2\sqrt x} dx = \frac{1}{2u}dx\)

Das einsetzen und kürzen.

$$\int \frac{e^{\sqrt x}}{\sqrt x} dx = \int \frac{e^u}{u} \;2u du = 2\int e^u \; du$$

Das integriert ergibt \(2 e^u + c\) und damit \(2e^{\sqrt{x}}+c\)

Grüße

Answer 2

ich bekomme als Ergebnis \(2e^{\sqrt{x}}+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\) heraus. Versuche es mal mit der Substitution \(u=\sqrt{x}\). Kommst Du damit weiter?

André

Answer 3

Hallo DH,

nach der Kettenregel gilt mit u = Term mit x

[ e^u ] '  = u ' * e^u , also  ∫  u ' * e^u  dx  =  e^u + c

Bei Integralen der Form  ∫ Term(x) · e^u  dx  kann man oft mit einem Blick erkennen, ob ein solches Integral vorliegt. Hier ist das der Fall:

 ∫  e^√x / √x  dx   =  ∫  1/√x · e^√x  dx  =  2 · ∫ 1/(2·√x) · e^√x  dx  =  2 · e^√x + c

Gruß Wolfgang