Exponentialgleichung lösen: 2^x*8^{x-1}=32 (Erklärungsbedarf)

Question

erstmal vielen Dank an die Person die mir hoffentlich weiterhelfen kann.

Folgende Lösung ist für die Gleichung angegeben und ich verstehe nicht den Schritt von der Ausgangsgleichung zu den weiteren Schritten. Wie kommt man von den 8^x-1 auf die 2^x+1. Und wieso sind die 2^x plötzlich weg?

2^x*8^x-1=32

2^x*2^x+1=32

2^x+1=32

2x+1=log(32)=5

x=2

Comments

8^x-1 ≠ 2^{x+1} 

https://www.matheretter.de/wiki/potenzen#gesetze 

Listet Potenzgesetze auf. Benutze nur Potenzgesetze, die du dort findest.

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Die Abschrift der Musterlösung enthält noch mindestens zwei weitere Fehler. Wie soll man unter diesen Umständen die Fragen deuten?

Answer 1

die Potenzgesetze kennst Du, oder? Also: $$x^a\cdot x^b=x^{a+b}\text{ und }x^a/x^b=x^{a-b}$$

Der Rechenweg stimmt so wie oben übrigens nicht!

Also ist \(8^{x-1}\) im Prinzip nichts anderes als \(\dfrac{8^x}{8}\). Es ist aber auch \(8=2^3\) und es steht dort \(\dfrac{(2^3)^x}{2^3}=\dfrac{2^{3x}}{2^3}=2^{3x-3}\). Nun wird \(2^x\) hinzumultipliziert und wir erhalten: $$2^{4x-3}=32$$ Nun wird auf beiden Seiten der Logarithmus zur Basis \(2\) angewendet und wir erhalten: $$\log_2(2^{4x-3})=\log_2(32)$$ $$\Longleftrightarrow 4x-3=5$$ $$\Longleftrightarrow 4x=8$$ $$\Longleftrightarrow x=2$$

André

Answer 2

8^{x-1} = 2^{3x-3}

--> 2^{4x-3} = 2^5

Exponentenvergleich:

4x-3=5

x= 2

Answer 3

bringe alles auf eine Basis: 8=2^3

Vergleiche dann den Exponenten.

Die "Musterlösung" ist falsch.

Answer 4

2^x * 8^{x-1} = 32  | * 8^1
2^x * 8^{x-1} * 8^1 = 32 * 8 
2^x * 8^{x-1+1} = 256
2^x * 8^x= 256
(2*8)^x = 256
16^x = 256  |
Weil bereits zu sehen
x = 2
Ansonsten
16^x = 256  | ln
x * ln (16 ) = ln ( 256 )
x = 2

Answer 5

Das Herumbasteln mit Potenzregeln lässt sich bei dieser Exponentialgleichung gänzlich vermeiden, wenn sie bereits im ersten Schritt (statt im letzten) logarithmiert wird:

$$  \begin{aligned}2^x \cdot 8^{x-1} &= 32 \quad | \quad \log_2(\,) \\x + 3 \cdot (x-1) &= 5 \\4 \cdot x -3 &= 5 \quad | \quad +3\\ 4 \cdot x &= 8 \quad | \quad :4 \\x &= 2. \end{aligned} $$

Comments

Für die zweite Zeile brauchst Du zwei Potenzregeln/Logarithmenregeln. Dass Du den Schritt nur übersprungen hast, enthebt Dich nicht der Anwendung dieser, wie bei den anderen, die das ausführlich gemacht haben ;).

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Das stimmt nicht, ich kenne die beiden benötigten Zweierlogarithmen und habe nur zu Anfang das gemacht, was auch die (ansonsten falsche) Musterlösung im letzten Schritt gemacht hat. Ich habe also nur logarithmiert, natürlich unter Verwendung der Logarithmusregeln, aber nicht der Potenzregeln.

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Ob Du jetzt die Logarithmusregeln oder Potenzregeln verwendest ist gehopft wie gesprungen, aber den Faktor 3 bekommst Du nur mit einem der beiden hin, wie auch das als Summe zu sc hreiben, nicht? ;)

Wenn Du mit Vorwissen argumentierst, kannst Du überall iwo abkürzen.

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Die ursprüngliche Frage drehte sich doch um die Potenzregeln und mein Ansatz besteht gerade darin, diese Regeln in der Rechnung zu umgehen, in dem ich statt dieser eben Logarithmusregeln verwende. Das habe ich auch gemacht. Ich habe nicht behauptet, ohne Logarithmusregeln auszukommen. Die Kenntnis von \(\log_2(32)=5\) setzt schon die Musterlösung voraus.