Bernoulli DGL Substitution. Wie kommt man auf z' = z*3e^t?

Question

Kann jemand bitte schnell erklären wie man auf die Ableitung von z(t) kommt ??

Ich glaube aber da kommt ein - vor der 3, aber ich weiß trotzdem nicht wie man auf die Ableitung kommt...

Kann jemand bitte helfen

Answer 1

z'=y'(t)*(-3)*y(t)^{-4}

=(-3)*(-1/3y+y^4e^t)y^{-4}

=y^{-3}-3e^t=z-3e^t

Comments

Wie hast du das berechnet ?

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ah ich habe verstanden... danke

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Mithilfe der Kettenregel.

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kann man auch mit einer Formel machen oder?

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Wie ist hat man da mit der Variation der konstante gerechnet??verstehe überhaupt nichts, wäre nett wenn das jemand erklären kann...

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zhom ist klar.

Für die partikuläre Lösung gilt nun der Ansatz zpart(t)=C(t)e^t

zpart'=C'(t)e^t + C(t)e^t=e^t *(C'+C)

Einsetzen in die DGL liefert

e^t *(C'+C)=C*e^t-3e^t

C'+C=C-3

C'=-3

C(t)=-3t+c2

zpart(t)=(-3t+c2)e^t

zallgemein=c1e^t+(-3t+c2)e^t

=Ce^{t} -3te^t

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wie geht den zhom ? :D

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Homogene Gleichung:

z'(t)=z(t)

Bekommst du das hin zu lösen?

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kannst du mal bitte rechnerisch zeigen? habe gerade echt keinen überblick mehr...

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Ansatz: zhom(t)=c1*e^{at}

Einsetzen gibt dann a=1

Answer 2

kann man auch mit einer Formel machen oder? Klar, das geht so

Das  setzt Du dann in die Aufgabe ein und bekommst die angegebene Beziehung: