Trigonometrische Funktionen: \sin^4(x) - \cos^4(x) = 1/2. Was ergibt dann sin(x) + cos(x)?

Question

Soit x un angle (exprimé en radians) compris entre \( \frac{π}{2} \) et ∏ tel que \( \sin^4(x) - \cos^4(x) = \frac{1}{2} \). Que vaut sin(x) + cos(x)?

X sei ein Winkel zwischen \( \frac{π}{2} \) und ∏: \( \sin^4(x) - \cos^4(x) = \frac{1}{2} \). Was ergibt sin(x) + cos(x)?

Answer 1

sin⁴(x)-cos⁴(x)=(sin²(x)+cos²(x))(sin²(x)-cos²(x)) und wegen si2(x)+cos2(x)=1 ergibt das sin²(x)-cos²(x) und wegen cos²(x)=1-sin²(x) ist das 2sin²(x)-1=1/2. Dann ist sin(x)=√3/2. Dann ist x=2π/3. Schließlich sin(x)+cos(x) = √3/2-1/2

Answer 2

sin⁴(x) - cos⁴(x) = (sin²(x) + cos²(x))·(sin²(x) - cos²(x)) wegen binomische Formeln.

sin²(x) + cos²(x) = 1 wegen Einheitskreis und Pythagoras. Also ist

        sin⁴(x) - cos⁴(x) = sin²(x) - cos²(x)

cos²(x) = 1 - sin²(x) wegen Einheitskreis und Pythagoras. Also ist

        sin⁴(x) - cos⁴(x) = sin²(x) - (1 - sin²(x)) = 2sin²(x) - 1

2sin²(x) - 1 = 1/2 ⇔ sin(x) = ±√(3/4)

√(3/4) sollte bekannt sein als die Höhe eine gleichseitigen Dreiecks mit Kantenlänge 1.