Wie berechne ich die zugehörige Funktion von Extrempunkten?

Question

Gesucht ist die Ganzrationale Funktion:

- Der Graph hat in (0|9) einen Hochpunkt und in (2|11/3) einen Wendepunkt.

Comments

Das ist eine sog. Steckbriefaufgabe. Wenn du auf dieser Seite nach dem Stichwort Steckbriefaufgabe suchst, wird du viele beispielaufgaben dazu finden.

Answer 1

Hi,

welchen Grad suchst Du denn? Überhaupt ein Polynom?

Die Angaben lassen eine Funktion dritten Grades vermuten. Da dann die Bedingungen aufstellen.

f(0) = 9

f'(0) = 0

f(2) = 11/3

f''(2) = 0

Hier nun das Gleichungssystem aufstellen:

d = 9

c = 0

8a + 4b + 2c + d = 11/3

12a + 2b = 0

Das kann man nun schnell lösen (alles in die beiden unteren Gleichungen einsetzen und nach a und b auflösen).

--> f(x) = 1/3*x^3 - 2x^2 + 9

Grüße

Comments

Könntest du genauer erläutern wie du die Gleichungssysteme aufgestellt hast?

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Überhaupt ein Polynom?

Gesucht ist die ganzrationale Funktion...

Hm...

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Ich habe mit dem allgm Ansatz f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d gearbeitet, sowie die Ableitung f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c verwendet.

Da dann die Bedingungen eingesetzt.

Answer 2

f(0) = 9

f'(0) = 0

f(2) = 11/3

f''(2) = 0

f ( 0 ) = a * 0^3 + b * 0^2 + c * 0 + d = 9  => d = 9

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + 9
f ´ ( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c

f ´( 0 ) = 3 * a * 0^2 + 2 * b * 0 + c = 0  => c = 0

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + 9
f ´ ( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x
f ´` ( x ) = 6 * a * x + 2 * b

f ( 2 ) = a * 2^3 + b * *2^2 + 9 = 11 / 3
f ´´ (  2 ) = 6 * a * 2 + 2 * b = 0

8 * a  + 4 * b  + 9 = 11 / 3
12 * a  + 2 * b = 0

a = 1/3
b = -2

Comments

Wie kommt man von
8 * a  + 4 * b  + 9 = 11 / 3 
12 * a  + 2 * b = 0 

auf

a = 1/3 
b = -2 

?

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Du hast hier ein lineares gleichungssystem mit 2 unbekannten. Dieses aufzulösen sollte dir gelingen, wenn du bereits mit Aufgaben zu tun hast, bei denen es um differentialrechnung geht.

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Ich hatte das Lösen  eines linearen
Gleichungssystems mit 2 Unbekannten
nicht mehr vorgeführt.
Ich schließe mich also Kofis Meinung an.

8 * a  + 4 * b  + 9 = 11 / 3 
12 * a  + 2 * b = 0  | * 2

8 * a  + 4 * b  + 9 = 11 / 3 
24 * a  + 4 * b = 0 | abziehen
----------------------
- 16 * a  + 9 = 11 / 3

Das schaffst du doch sicher..