Bestimme die zugehörige Kurvenschar und berechne wie viele Flächeneinheiten jeweils im vierten Quadranten mit der …

Question

Aufgabe 1: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist achsensymmetrisch und geht durch den Ursprung und den Punkt P(2/0). Bestimme die zugehörige Kurvenschar und berechne wie viele Flächeneinheiten jeweils im vierten Quadranten mit der x-Achse einschlossen werden.

Aufgabe 2: Zeichne die Ortslinie der Extremwerte der gegebenen Kurvenschar und beschreibe sie. (Bis dahin bin ich leider nicht gekommen, weil ich Schwierigkeiten habe, die Gleichung in Aufg. 1 zu bestimmen)

Problem/Ansatz:

Eine Funktion 4. Grades, die symmetrisch zur y-Achse ist, hat nur gerade Exponenten. Somit auch die allgemeine Gleichung: f(x)=ax^4+bx^2+c.

f‘(x)=4ax^3+2bx

f‘‘(x)=12ax^2+2b

Ich weiß, dass ich zwei Bedingungen gegeben habe (0/0) und P(2/0).

f(0)=0a+0b+c  ->c=0

f(2)= 16a+4b+c=0

Wie muss ich jetzt weiter rechnen, um eine Gleichung am Ende zu haben?

Wenn ich meine Gleichung habe weiß ich dann, dass ich damit eine Kurvendiskussion durchführe und anschließend das Integral von den Nullstellen aus dem 4. Quadranten berechne.

Answer 1

c=0 weil der Graph ja durch den Ursprung geht

also f(x)=a*x^4+b*x² mit P(2/0) → Nullstelle

f(2)=0=a*2^4+b*2²=a*16+b*4

b=-a*16/4=-a*4

fa(x)=a*x^4-4*a*x²

nun integrieren in dem Intervall → untere Grenze xu=0 bis obere Grenze xo=2

Fa(x)=1/5*a*x^5-4/3*a*x³+C

A=obere Grenze minus untere Grenze=Fa(xo)-Fa(xu)

die Integrationskonstante C hebt sich hierbei auf

b) Extrema bestimmen

f´a(x)=m=0=4*a*x³-8*a*x → Nullstellen ermitteln

f´´a(x)=12*a*x²-8*a → kontrollieren,ob Maximum oder Minimum

Ortslinie habe ich schon mal gehört,weis aber nicht,was das ist.

Answer 2

1)

f(x)=ax^4+bx²+c

c=0 hast du schon.

16a+4b=0

b=-4a

--> f(x)=ax^4-4ax²

Im vierten Quadranten liegt die Fläche zwischen x=0 und x=2, den vorgegebenen Nullstellen. Allerdings liegt dort nur für a>0 eine geschlossene Fläche.

F(x)=∫(ax^4-4ax²)dx=ax^5/5 - 4ax³/3 +C

F(2)-F(0)=(32/5 - 32/3)*a=-64a/15

Der Flächeninhalt ist der Betrag, also 64a/15.

2)

Für die Extremstellen benötigst du die erste Ableitung, die du gleich Null setzt.

f'(x)=4ax³-8ax=0

4ax(x²-2)=0

x=0 oder x=-√2 oder x=√2.

Für uns ist nur x=±√2 interessant.

Der y-Wert des Extremums ist

y=f(√2)=a*(√2)^4 - 4a*(√2)²=4a-8a=-4a

Nun müsste der Term für x nach a aufgelöst und in den Term für y eingesetzt werden.

Allerdings hängt x=±√2 nicht von a ab.

Die Ortskurven werden deshalb schon von x=±√2 vollständig beschrieben.

Es sind zwei Parallelen zur y-Achse.

:-)