Wie faktorisiert man diese Gleichung ohne Polynomdivision? 6x^2 -5x -21 = 0 und x^4-8x^3+14x^2+8x-15 = 0

Question

Ich habe eine Frage.

6x^2 -5x -21 = 0

lässt sich in

(3x-7) (2x+3) = 0

umschreiben.

Mein Rechenweg :

6 * (-21) = -126

(9) * (-14) = -126

(9) + (-14) = -5

6x^2 +9x-14x -21 = 0

3x(2x + 3) -7(2x +3) = 0

(3x-7) (2x+3) = 0

Ich bin mit meinem rechenweg nicht zufrieden, denn jetzt habe ich bei dieser Aufgabe komplett Probleme.

x^4-8x^3+14x^2+8x-15 = 0

Ich weiß, dass kann man mit Faktorisieren umformen, aber wie weiß ich nicht.

Kann mir jemand helfen und erklären wie man das Faktorisiert und wie man das obere Beispiele besser löst.

Answer 1

Bei quadratischen kannst du immer den Faktor vor x² ausklammern

und den Rest gleich 0 setzen und mit der pq-Formel lösen:

6x² -5x -21 = 0

<==> 6*(x² -(5/6)x -7/2) = 0

gibt x=7/3 oder x=-3/2 also

          6*(x-7/3)*(x+3/2) = 0

und aus der 6 machst du 3*2 und verteilst die in die Klammern

(3x-7) (2x+3) = 0 .

Bei x⁴-8x³+14x²+8x-15 = 0 könnte so ein Ansatz wie

(x² +ax -3)(x² + bx +5)  helfen:

also a+b=-8  und ab+2=14 und  5a-3b=8

Das klappt mit a=-2 und b=-6 .

Also   x⁴-8x³+14x²+8x-15  = (x² -2x -3)(x² -6x +5)

Answer 2

Wir haben dass $$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$$ Wir haben den Ausdruck $$6x^2-5x-21=6\cdot \left(x^2-\frac{5}{6}x-\frac{21}{6}\right)=6\cdot \left(x^2-\frac{5}{6}x-\frac{7}{2}\right)$$ Wir wollen das Polynom $$x^2-\frac{5}{6}x-\frac{7}{2}$$ faktorisieren, also in der Form  x²+(a+b)x+ab  schreiben. Wir wollen also die Werte von a und b bestimmen sodass: $$a+b=-\frac{5}{6} , \ a\cdot b=-\frac{7}{2}$$ 

Answer 3

$$ 1x^4-8x^3+14x^2+8x-15   $$

anhand der Koeffizienten erkennt man , dass sowohl (x-1) und (x+1) abgespalten werden können.

(1+14-15=0, 8-8=0)

Der Ansatz für die Faktorisierung lautet also:

$$ (x-1)(x+1)(x^2+Ax+B)=x^4-8x^3+14x^2+8x-15   $$

Der Koeffizient vor x^2 kann gleich 1 angesetzt werden, da man vor der höchsten Potenz x^4 nur eine 1 stehen hat.

Ausmultiplizieren links liefert:

$$ x^4+Ax^3+(B-1)x^2-Ax-B=x^4-8x^3+14x^2+8x-15   $$

vergleicht man die Koeffizienten erhält man A=-8 und B=15.

Somit ist

$$ (x-1)(x+1)(x^2-8x+15)=x^4-8x^3+14x^2+8x-15   $$

Für die letzte Faktorisierung gibt es mehrere Möglichkeiten (quadratische Funktion).

$$ (x-1)(x+1)(x^2-8x+15)=(x-1)(x+1)(x^2-3x-5x+3*5)=(x-1)(x+1)(x-3)(x-5)$$

Answer 4

Raten oder probieren.

Setzen wir einmal x = 0 ein dann ist der
Funktionswert -15.
Für x = 1 ist der Funktionswert 0. Bingo.
Jetzt
( x⁴-8x³+14x²+8x-1 ) / ( x -1 ) ergibt
x^3 - 7 * x^2 + 7 * x + 15
Der nächste Rateversuch ergibt x = -1
( x^3 - 7 * x^2 + 7 * x + 15 ) / ( x + 1 )
x^2 - 8 * x + 15

In der Praxsis würde ich mir die Funktion
von einem Plotter zeichnen lassen und dann
die Nullstellen ablesen ( falls möglich ).

Comments

Bezüglich deiner 1.Frage
6x² -5x -21 = 0
kann man die Mitternachtsformel anwenden.

Answer 5

eine Möglichkeit :