Funktioniert hier das Quotientenkriterium?

Question

da man ja auf verschiedene Weisen zeigen kann, dass eine Reihe konvergiert, dachte ich, dass ich es mal mit denn Quotientenkriterium probiere und hab auch raus, dass es konvergiert.

Wollte fragen, ob ihr auch so denkt.

Comments

Du meinst Aufgabe 5?

Kannst du mal zeigen, was du da gerechnet hast?

Answer 1

Hallo  sonnenblume123,

$$ \left |\frac{a_{n+1}}{a_n}  \right | = \frac{\ln^2(n+1)}{(n+1)^3}\cdot \frac{n^3}{\ln^2(n)}=\frac{n^3}{n+1^3}\frac{\ln^2(n+1)}{\ln^2(n)} =\left(\frac{n}{n+1}\right)^3\frac{\ln^2(n+1)}{\ln^2(n)}=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^3\left(\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}\right)^2=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^3\left(\frac{\ln(n(1+\frac{1}{n}))}{\ln(n)}\right)^2=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^3\left(\frac{\ln(n)+\ln(1+\frac{1}{n})}{\ln(n)}\right)^2 =\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^3\left(\frac{\ln(n)}{\ln(n)}+\frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{\ln(n)}\right)^2 = \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^3\left(1+\frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{\ln(n)}\right)^2. \\\lim_{n \to \infty}\left |\frac{a_{n+1}}{a_n}  \right | =\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^3\left(1+\frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{\ln(n)}\right)^2 = 1 $$.
Das Quotientenkriterium(und auch das Wurzelkriterium) liefert den Grenzwert 1, damit lässt sich keine Aussage über das Konvergenzverhalten machen. Einfacher geht's mit dem Majorantenkriterium:

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \) ist eine Majorante für \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln^2(n)}{n^3} \), d.h. \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln^2(n)}{n^3} \) konvergiert.

Beste Grüße
gorgar