Nullstelle berechnen Gleichung höheren Grades x^4-5x^3-9x^2+11x-23

Question

Hallo. Ich habe eine Gleichung : x^4-5x^3-9x^2+11x-23

Wie bekomme ich die Nullstellen OHNE Taschenrechner raus? Also Ausklammern geht ja Nicht und p/q Formel auch nicht. Was ist dann möglich?

Achja, der Rechenweg wäre toll

Comments

Hast Du die Aufgabe richtig abgeschrieben?

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Ja, warum? Wieso was sollte da nicht stimmen

Zur not habe ich auch noch eine andere Aufgabe die ähnlich wie diese ist

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> Ich habe eine Gleichung : x⁴-5x³-9x²+11x-23

Dann teile uns die Gleichung mit.

x⁴-5x³-9x²+11x-23 ist keine Gleichung. Das erkennt man an dem Gleichheitszeichen.

> Also Ausklammern geht ja Nicht und p/q Formel auch nicht.

Du solltest dich auch noch vergewissern, das auch Substitution in diesem Falle nicht weiterehilft.

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Achja, der Rechenweg wäre toll

Die richtige und vollständige Aufgabenstellung auch...

Answer 1

Vielleicht sollte es Dir mal jemand deutlich sagen:

In der Schule lernst Du, wie man quadratische Gleichung mit der pq- oder abc-Formel loest. Fuer Gleichungen dritten und vierten Grades gibt es zwar auch noch Lösungsformeln, die werden aber in der Schule nicht behandelt. Erstens sind sie zu kompliziert und zweitens braucht man dazu komplexe Zahlen, auch wenn womoeglich gar nichts Komplexes rauskommt.

Wenn Du also eine Gleichung dritten oder hoeheren Grades loesen sollst, dann geht das immer so, dass Du Nullstellen erraetst, Linearfaktoren abdividierst und am Ende noch eine quadratische Gleichung uebrigbleibt, die Du dann mit der pq-Formel erledigst.

Die Aufgaben sind immer so getuerkt, so dass man die ersten paar Nullstellen erraten kann. Wenn Du Dir stattdessen selber was aus der Nase ziehst, dann kann man garantiert schon keine Nullstellen mehr erraten. Solche Aufgaben sind dann mit Schullmitteln unloesbar. Sie werden deshalb auch niemals gestellt.

Answer 2

Du findest die zwei reellen Nullstellen wohl am ehesten Über ein Näherungsverfahren

x = 6.252200033 ∨ x = -2.387808324

Siehe dazu: https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Answer 3

Das Einfachste ist es, den graphikfähigen Taschenrechner einzusetzen (siehe Manual). Wenn das nicht erlaubt ist, bleibt hier nur ein Nährungsverfahren, denn die reellen Nullstellen sind irrational und lassen sich nicht erraten (Stichwort:Newtonsches Näherungsverfahren).

Answer 4

da das Absolutglied 23 eine Primzahl ist kann man hier keine Nullstelle raten.

Da hast du nur zwei Möglichkeiten:

Entweder du verwendest die Lösungsformeln für Gleichungen 4ten Grades, die ich hier aus Platzgründen nicht hereinstellen kann, oder du verwendet ein Näherungsverfahren deiner Wahl.

Answer 5

Diese Aufgabe kannst Du nur mit Näherungsverfahren .z.B. mittels Newton lösen.

Reelle Lösungen sind

x1 ≈ - 2.388 und

x2 ≈ 6.252

und 2 weitere komplexe Lösungen.

Comments

Wie sieht die Rechnung dazu aus?

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Habt Ihr denn sowas überhaupt behandelt? , Welche Klasse? Oder UNI?

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Linda, dazu wird kaum jemand das Newton-Verfahren nutzen. Abgesehen von dem ganzen arithmetischen Aufwand, den man hier treiben müsste, müsste man noch gut begründete Angaben zum Konvergenzverhalten, zur Wahl der Startwerte, zur Anzahl der Nullstellen und zur Fehlerabschätzung machen. Ohne weitere Hilfsmittel ist man dabei doch eher aufgeschmissen oder nicht?

Andererseits können bereits manche Taschenrechner unter 50 Euro die Nullstellen von Polynomfunktionen bis zu einem bestimmten Grad ausrechnen.

Was möchte man in dieser Situation wohl sinnvollerweise tun?

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Ich hab einen Taschenrechner, es ist eine Prüfung und das ganze Rechnerfrei. Ich würde das gerne wissen, weil wenn es in der Abitur Prüfung dran ist darf ich den Rechner nicht benutzen!

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Ich kann schlecht in der Prüfung im rechnerfreien Teil sagen, dass ich den Taschenrechner nehme. Dann wars das mit der Prüfung

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Schauh doch noch mal, möglicherweise liegt hier ein Druckfehler vor??

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Du kannst sicher(!) sein, das solche Aufgaben im hilfsmittelfreien Teil nicht drankommen. Hast du das Gefühl, du müsstest so etwas berechnen, kannst du dir daher ebenfalls sicher sein, dass du irgendetwas an der Aufgabe falsch verstanden hast oder dich verrechnet hast.

Answer 6

Hallo Linda.

Natürlich gibt es analog zur pq-Formel auf für Gleichungen 4. Grades eine exakte PQRSTUVW-Formel -> ABER die kommt selbst für Mathematiker erst später im Studium dran und beinhaltet komplexe Zahlen und zig ineinander verschachtelte Wurzeln!

unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

werden 2 Algorithmen vorgerechnet, die ABER NIE im Abi drankommen geschweige abgefragt werden -> und schon lange nicht ohne Taschenrechner (über 10 ineinander verschachtelte 2. und 3. Wurzeln ! ).

Das ist es ja gerade, dass sich die Lehrer extra für Euch leichte "Sonderfallaufgaben" ausdenken, wo:

- entweder was herauszukürzen geht

- nur Grad 2 und Grad 4 vorhanden ist und man durch Substitution eine pq-Formel anwenden kann

- eine ganzzahlige Nullstelle zw. -4 und 4 leicht zu erraten ist

Das Newton-Verfahren (näherungsweise Annäherung) geht immer (egal welcher Grad) -> benötigt aber immer einen Taschenrechner -> wenn Ihr ohne diesen lösen sollt, fällt das schon mal raus!

Deine Aufgabe (selbst ausgedacht oder falsch abgeschrieben) gehört nicht zu denen, die im ABI:

- je drankommen werden

- für Euch als Lösung explizit aufzuschreiben gehen (ohne Hilfsvariablen etwa eine ganze DIN-A4 Seite voll)

- mit mehr als 6 Nachkommastellen auszurechnen gehen (selbst Taschenrechner mit "solve" rechnen oft nur 6 Stellen genau!)

- komplexe Zahlen dann auch noch irrational (also unendlich viele Nachkommastellen) kommt nicht dran!

Was höchstens drankommen kann, ist den Verlauf grob abschätzen:

- wieviele reelle Nullstellen

-  in welchen Bereich liegen sie

Oder Du sollst keine Nullstellen, sondern die Ableitung berechnen (Optimierungs- oder Extremwertaufgabe -> da wird von der Ableitung die Nullstelle gesucht).