(z-1)^4=Wurzel(3) +1. Gesucht alle Lösungen z in der Gaußschen Zahlenebene

Question

Hallo

gebe alle z in algebraischer Form an. Skizzieren sie die Lösungen der Gaußschen Zahlenebene. 

(z-1)^4=(Wurzel von 3) +1

Edit:

$$ (z-1)^4=\sqrt { 3 }+1 $$

Answer 1

tan(φ)= Imaginärteil/Realteil

                                               

Comments

Irgendwas stimmt mit dem Bild nicht ;)

Edit: Danke

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ich weiß, jetzt aber ok

Answer 2

Hallo

$$ \sqrt{3}+1 = r \cdot e^{i\alpha}, r = \sqrt{3}+1, \alpha=0\\(z-1)^4 = r \cdot e^{i\alpha}\\z-1 = \sqrt[4]{r \cdot e^{i\alpha}} \\z = 1+\sqrt[4]{r \cdot e^{i\alpha}} \\ \\z = 1+ \sqrt[4]{r} \cdot \sqrt[4]{e^{i\alpha}} = 1+\sqrt[4]{r} \cdot e^{i\varphi_k}=1+\sqrt[4]{r} \cdot e^{i\frac{\alpha + k \cdot 2\pi}{4}}, k=0,1,2,3. \\z_0 = 1 + \sqrt[4]{r} \cdot e^{i\cdot0} = 1 + \sqrt[4] {r} = 1 +  \sqrt[4] {\sqrt{3}+1} \Rightarrow z_0 = 1 +  \sqrt[4] {\sqrt{3}+1} \\z_1 = 1 +  \sqrt[4]{r} \cdot e^{i\frac{\pi}{2}} =  1 + \left(\sqrt[4]{\sqrt{3}+1}  \right)\cdot e^{i\frac{\pi}{2}} \Rightarrow z_1 = 1 + i \sqrt[4]{\sqrt{3}+1} \\z_2 = 1 +  \sqrt[4]{r} \cdot e^{i\pi} = 1 +  \left(\sqrt[4]{\sqrt{3}+1}  \right)\cdot e^{i\pi} \Rightarrow z_2 = 1 - \sqrt[4]{\sqrt{3}+1} \\z_3 = 1 + \sqrt[4]{r} \cdot e^{i\frac{3\pi}{2}} = 1 +  \left(\sqrt[4]{\sqrt{3}+1}  \right)\cdot e^{i\frac{3\pi}{2}}\Rightarrow z_2 = 1 - i\sqrt[4]{\sqrt{3}+1} $$

 

Beste Grüße
gorgar

Answer 3

Hallo BJ,

(z-1)^4= √3 +1      |  ⁴√  | +1

z₀  =   (√3 +1)^1/4 - 1     (reelle Zahl > 0)

Das Argument (= Winkel mit der x-Achse in der Gaußebene)  ist  also  φ₀ = 0   

die drei weiteren Lösungen z_k  erhältst du mit  n = 4  und   k = 1,2,3  aus 

z_k = ⁿ√r · [ (cos( (φ₀ + k · 2π) / n ) + i · sin( (φ₀ + k · 2π) / n ) ] 

[  oder in Eulerform        z_k =  ⁿ√r · e^{i · (φo + k·2π) / n}   ]

Lösungen:

z₀ = (√3 + 1)^{1/4} + 1 ;  z₂ = 1 + i·(√3 + 1)^{1/4}   ;  z₃ = 1 - (√3 + 1)^{1/4}  ;  z₄ = 1 - i·(√3 + 1)^{1/4}  

Gerundet: 

z_1,3 = ±  2.285648338   ;   z_2,4 =  1  ± 1.285648338 · i   

Gruß Wolfgang