Anfangswertproblem: Trennung der Variablen (Frage zu einer Rechnung)

Question

ich habe eine Frage zu dieser Rechnung: (Das ist von einer Antwort aus der Community entnommen)

Wie komme ich genau darauf. Und insbesondere wie komme ich auf die 4. Zeile und wie und warum wurde hier g(t) und s(t) so gewählt?

Comments

Anmerkung ,

Diese DGL kannst Du mit der Lösungsformel wesentlich eleganter und  kürzer lösen. Aber wenn Du den anderen Weg möchtest , dann bitte..

Answer 1

Hallo JE,

ich nehme an, du hast die Frage von hier:

https://www.mathelounge.de/465281/anfangswertproblem-mittels-variation-der-konstanten

Da ist in meiner anderen Antwort ganz genau erklärt, wie man eine solche DGL löst.

Die in der 4. Zeile deines Bildes verwendete Formel für die allgemeine Lösung der DGL ist dort hergeleitet  ( mit t=x und g(t) = f(x) )

Statt dort unten in die Endformel einzusetzen, kannst du mit  s(t)  = - e^{1/2 t2} ,  f(t) = - t 

auch Schritt für Schritt die darüber stehende allgemeine Lösungsanweisung am Beispiel durchführen.

Gruß Wolfgang

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noch eine Frage zu dieser Rechnung bei der Bestimmung von c(t):

Die Umformung der zweiten Zeile zur dritten. Wie wurde denn hier genau umgeformt und was passiert mit den ganzen C(t) bzw. wie komme ich auf die dritte Zeile?

Und warum wurde am Ende c= -3 gewählt?

Danke.

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Hallo John_Doe,

hier wurden in der zweiten Zeile y'(t)  und  y(t)  in die DGL eingesetzt.

(Beides fällt in dem Bild vom "Himmel" :-))

Wenn du die DGL umstellst, hast du - wenn du gemäß meiner allgemeinen Anleitung (Link in obenstehender Antwort) vorgehst -

f(t) = -3/(1+t)  und  s(t) = 3 * (1+t)

F(t) =  -3 * ln(t+1)

y(t) = c(t) * (t+1)^3   →  y'(t) 

....

c'(t) = s(t) * e^F(t) = 3*(1+t)*(1+t)^-3  =  3 * ( 1+t)^-2

c(t) = -3 / (1+t) + k

> Und warum wurde am Ende c= -3 gewählt?

Das kann nur mit einer Anfangsbedingung zu tun haben.

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Hallo -Wolfgang-,

ich muss das auf eine andere Art machen, obwohl dieser viel einfacher zu sein scheint.

Ich muss das über Äquivalenzumformung (wie oben) machen.

Mein Hauptanliegen war also, wie ich über die Äquivalenzumformung von der zweiten Zeile zur dritten komme.

Könntest du mir eventuell zeigen, wie das umgeformt wurde?

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Da hast du in früheren Aufgaben schon Schwierigeres selbst gemacht :-) :

Wegen t ≠ -1  kannst du Z2 erst einmal im 1. Summanden rechts zusammenfassen und die Gleichung durch (1+t) dividieren:

2. Zeile

⇔ c'(t) ·(1 + t)^2 + 3·c(t)·(1 + t)  =  3·c(t)·(1 + t) + 3    (hebt sich auf)

⇔ c'(t) ·(1 + t)^2   =  3  | : (1 + t)^2 

⇔ c'(t) = 3 / (1 + t)^2

Integrieren :

⇔ c(t) =  - 3 / (1+t ) + k

Answer 2

die Berechnung erfolgte ja bereits hier:

https://www.mathelounge.de/465281/anfangswertproblem-mittels-variation-der-konstanten

Der Weg ist folgender:

1.)Form y' +g(t) y=s(t)  herstellen

2.) g(t) - ist generell das , was VOR dem y steht

     s(t) -Störfunktion , der y- freie Term

3.) ∫ g(t) dt berechnen

4.)  s(t) e^ (⌈g(t)dt)  berechnen

5.) Ergebnisse der Integration in die Lösungsformel einsetzen.