gegeben seien die Punkte \(A,B,C\in\mathbb{R}^3\). Diese Punkte spannen ein Dreieck im Raum auf. Seien weiterhin \(a=\sqrt{(c_1-b_1)^2+(c_2-b_2)^2+(c_3-b_3)^2}\), \(b=\sqrt{(c_1-a_1)^2+(c_2-a_2)^2+(c_3-a_3)^2}\) und \(c=\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2}\) die Seitenlängen des Dreiecks. Wir können uns mit der Heron-Formel zur Berechnung von Dreiecksflächen eine Determinantengleichung basteln, die uns genau den Flächeninhalt liefert. Dazu sei \(D\in\mathbb{R}^{4\times 4}\) gegeben durch:
\(D=\left(\begin{matrix}0&a&b&c\\a&0&c&b\\b&c&0&a\\c&b&a&0\end{matrix}\right)\)
Den Flächeninhalt \(A_\Delta\) des Dreiecks erhältst Du dann durch:
\(A_\Delta=\sqrt{-\dfrac{1}{16}\det{(D)}}=\dfrac{1}{4}\cdot \sqrt{-\det{\left(\left(\begin{matrix}0&a&b&c\\a&0&c&b\\b&c&0&a\\c&b&a&0\end{matrix}\right)\right)}}\)
Permutierst Du \(D\), erhältst Du weitere \(D_i\), mit denen die Formel funktionieren sollte.
André
