Matrixgleichung, determinante,

Question

Aufgabe:
Gegeben sei dir Matrixgleichung A*X+B*X= C

A=  2   -1    B=  1   3     C=  -23    38

    -2     0           2    2            -20    8

Bestimme die Matrix X und kreuzen Sie alle richtigen Antworten an.

a) X₂₂ ≤ 4

b) Die Determinante der Matrix A ist  0

c) X₁₁ < -1

d) Die Determinante der Matrix X ist -104

e) X₁₂  > 10

Problem/Ansatz:

ich versteh zwar wie ich X ausrechne also X= (A+B)^-1 *C aber ich versteh einfach nicht wie ich da dann vorgehen muss. Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Answer 1

X= (A+B)^(-1) *C

 =  -1   10
     -10   4

a) X22 ≤ 4  Stimmt; denn x22 ist das 2. Element
in der 2. Zeile der Matrix, also die 4 und die

ist kleiner oder gleich 4.

b) Die Determinante der Matrix A ist  0

c) X11 < -1  stimmt nicht; denn -1 ist nicht kleiner als --1

d) Die Determinante der Matrix X ist -104

det = -1*4 - 10*(-10)  = -4 + 100 = 96 also falsch

e) X12  > 10  falsch; denn x12=10 und nicht größer als 10.

Answer 2

X=\( \begin{pmatrix} -1 & 10 \\ -10 & 4 \end{pmatrix} \)

a) X₂₂ ≤ 4 ja x₂₂=4

b) Die Determinante der Matrix A ist  0 nein det A=-2

c) X₁₁ < -1 nein x₁₁=-1

d) Die Determinante der Matrix X ist -104 nein det X=96

e) X₁₂  > 10 nein, vergleiche.

Answer 3

Hallo Lisa,

ich versteh zwar wie ich X ausrechne also \(X= (A+B)^{-1} *C\) ...

das ist richtig

... aber ich versteh einfach nicht wie ich da dann vorgehen muss.

Die Addition von \(A+B\) sollte kein Problem sein - oder$$A+B= \begin{pmatrix}2& -1\\ -2& 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1& 3\\ 2& 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3& 2\\ 0& 2\end{pmatrix}$$als nächstes ist die Matrix \(A+B\) zu invertieren. Dazu gibt es bei 2x2-Matrizen einen Trick. Vertausche die Werte auf der Hauptdiagonalen - also die 3 und die 2 und negiere die Werte der Nebendiagonalen - also die 0 und die 2 rechts oben. Anschließend dividiere durch die Determinante der Matrix$$(A+B)^{-1} = \frac 1{3\cdot 2 - 0 \cdot 2} \begin{pmatrix}2& -2\\ 0& 3\end{pmatrix} = \frac 16 \begin{pmatrix}2& -2\\ 0& 3\end{pmatrix}$$und jetzt noch mit \(C\) multiplizieren$$\begin{aligned}(A+B)^{-1} \cdot C &= \frac 16 \begin{pmatrix}2& -2\\ 0& 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-23& 38\\ -20& 8\end{pmatrix} \\ &= \frac 16\begin{pmatrix}-6& 60\\ -60& 24\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}-1& 10\\ -10& 4\end{pmatrix} \end{aligned}$$Falls Du noch Fragen zu Addition und Multiplikation vom Matrizen hast, so melde Dich bitte.

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