Partielle Ableitung einer Funktion und die Umformung. f(x,y):= (4x^2+y^2)e^ -(x^2+4y^2)

Question

ich habe diese Funktion: f(x,y):= (4x²+y²)e^{-(x^2+4y^2)}

Die erste Ableitung lautet nach Musterlösung:

Hier wurde ja nach Produktregel abgeleitet. Wie man auf die Zusammenfassung am Ende kommt verstehe ich leider nicht.

Ich wäre um Hilfe sehr dankbar.

Answer 1

nimm doch mal die e-Funktion raus (die wird ja eh ausgeklammert), dann wird das Problem schon viel einfacher. Dann pass noch auf, dass auch 2x ausgeklammert wird und Du kommst schnell zur Vereinfachung.

Ohne e-Funktion:

8x + (4x^2+y^2)*(-2x) = 2x * (4+ (4x^2+y^2)*(-1) ) = 2x * (4-4x^2-y^2)

Nun klar?

Grüße

Answer 2

es wurde nach \(x\) partiell abgeleitet. Die Produkt- wird in Kombination mit der Kettenregel verwendet.

\(f(x,y)=(4x^2+y^2)\cdot e^{-(x^2+4y^2)}\)

\(\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=8x\cdot e^{-x^2-4y^2}+(4x^2+y^2)\cdot (-2x)\cdot e^{-x^2-4y^2}\mid\) Ausklammern von \(2x\cdot e^{-x^2-4y^2}\)

\(=2x\cdot e^{-(x^2+4y^2)}\cdot (-4+4x^2+y^2)\cdot (-1)\) 

\(=2x\cdot e^{-(x^2+4y^2)}\cdot (4-4x^2-y^2)\)

Klarer?

André

Comments

Hi Andre, in der zweiten Zeile heißt es eher 8x und nicht 8x^2 im ersten Summanden?! ;)

Und auf der dritten Zeile hast Du doch 2x ausgeklammert. Und dann aber gleich das -4 in die Klammer gezogen? Das halte ich für schwieriger, als tatsächlich einfach 2x auszuklammern (statt noch die -1 mitzuberücksichtigen). Siehe für diesen kleinen Zwischenschritt bei mir? ;)

Grüße

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Hoppla, natürlich;-)

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Dieser Zwischenschritt mit der \(-1\) ist bewusst getrennt (so funktioniert es in meinem Kopf besser). Das ist aber tatsächlich Geschmackssache. Es ist ja nicht verkehrt, wenn der FS mehrere Herangehensweisen zur Verfügung hat.

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Der Schritt ist nicht getrennt, sondern "zu schnell" gemacht, findest Du nicht?

Es ist ja langsamer gerechnet:

4 + (4x^2+y^2) * (-1) = (-4+(4x^2+y^2))*(-1) = 4-4x^2-y^2

was Du gerechnet hast. Siehst Du, was ich meine? Eigentlich einen unnötigen (und dazu schnellen) Schritt ;)

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Ich sehe natürlich, was Du meinst;-)

Answer 3

hier wurde ausgeklammert.